PROPRIÉTÉS INVOLUTIVES DU QUADRILATÈRE
1120. Toute transversale \j menée dans le plan d'un quadrilatère ABC\) rencontre les quatre côtés et les deux diagonales en six points, a et «', b et b', c et c' , qui sont en involution [fg. 677) ; car les faisceaux homographiques(AB, AC, AD, Ac'), (CB, CA. CD, Ce'), déterminent sur L deux divisions homographiques, et l'on a
[acb'c')={bca'c') ou (320) [acb' c') = [a' c' bc),
d'où l'on conclut (1113) que les segments <-/«', bb' , ce', sont en involution.
Les six droites menées d'un point quelconque 0 du plan d'un quadrilatère ABCD aux sommets et aux points de concours E f^ F des côtés opposés, sont en im'olution ; car le quadrilatère OAFB, dont OF et AB sont les diagonales, détermine, d'après le théorème précédent, six points en involution sur la transversale DC ; donc, les droites OA et OC, OB et OD, OE et OF, qui passent par ces six points, sont en involution.
En plaçant le point 0 à l'intersection des deux circonférences décrites sur AC et BD comme diamètres, les couples de rayons homologues OA et OC, OB et OD, seront rectangulaires ; donc, le troisième couple OE et OF le sera aussi (1119), et, par suite, la circonférence décrite sur EF comme diamètre passera par les deux points communs aux deux premières; donc, les trois circonférences décrites sur les trois diamètres AC, BD, EF, d'un quadrilatère complet comme diamètres, se coupent aux deux mêmes points ; d'où l'on peut conclure immédiatement le théorème du n" 317.
1121. Quand un quadrilatère ABCU est inscrit dans un cercle, une transversale quelconque L située dans son plan rencontre les deux couples de côtés opposés et le cercle en trois couples de points [a, a'), ( /->, b'), (e, /), cpd sont en involution (jpg. 577).
En effet, les droites qui joignent
aux points fixes A et C un point mobile qui décrit la circonférence, forment deux faisceaux homogra-
1122. Quand un quadrilatère abcd est circonscrit à un cercle, si xPun point 0 situé dans son plan on mène des droites 0a,0b,0r,0d, àses sommets et deux tangentes OE, OF, à la courbe, les trois couples de droites 0 a et Oc, Ob et Od, OE et OF, sont en involution \Jîg- 578).
En effet, une tangente, en roulant sur le cercle, trace sur les tangentes fixes ab et cd deux divisions homographiques(lHO). Les droites
LIVRR VIII.
LES COl'RBi:S USI lil.l.F.S.
phiqtics (1110); par suite, ces faisceaux tracent sur L deux divisions homographiques dont e et /sont les points doubles. D'ailleurs, comme AB ot BC, AD et CD, sont deux couples de rayons homologues des deux faisceaux , « et é, h' et «', seront deux couples de points homologues des deux divisions. Donc (1115) les trois couples (c',«'), (è, ^'), (tf, /), sont en involution.
Au lieu de prendre les deux coupies de côtés opposés, on pourrait prendre un couple de côtés opposés et les deux diagonales ; le théorème subsisterait, car ces quatre droites forment aussi un quadrilatère inscrit au même cercle.
11 résulte du théorème précédent
que, si un (fuadriUnère inscrit à un
cercle se (Icfonnc de telle sorte que
trois de ses côtés tournent aulnur de
1\. et DE C. — Tr. de Ceoiii.
menéesdu pointOà ces divers points forment donc deux faisceaux homographiques dont OE et OF sont les rayons doubles. D'ailleurs, comme n et d, h et f, sont deux couples tie points homologues des deux divisions, Ort etO*-/, O^et Or, sont deux couples de rayons homologues des deux faisceaux. Donc (1118) les trois couples 0(1 et Oc-, Ob et Or/, OE et OF, sont en involution.
Fig. 5v8.
Au lieu de prendre les deux couplesdesominelsopposés, on pourrait prendre un couple de sommets opposés et lesdeux points de concours e et/des côtés opposés ; le théorème subsisterait, car ces quatre points sont aussi les sommels d'un quadrilatère circonscrit au même cercle.
Il résulte du théorème précédent
que, si un quadhlntère circonscrit à
un cercle se déforme de telle sorte
que trois de ses sommets glissent sur
(ir Pallie). '^^i
GÉOMÉTRIE DA>"S l'eSPACE.
trois points en ligne droite, le quatrième côté tourne aussi autour dhin point fixe de cette droite.
On déduirait aisément de là une solution de ce problème : Inscrire dans un cercle un triangle dont les trois côtés passent par trois points en lisrne droite.
trois droites passant par un même point, le (piatrième sommet décrit aussi une droite passant par ce point.
On déduirait aisément de là une solution de ce problème : Circonscrire a un cercle un triangle dont les sommets reposent sur trois droites données et passant par un même point.
Le théorème du n° J 121 est dû au célèbre géomètre français Desargues' (première moilié du xvii' siècle); toutefois, les anciens [Collections matliémaiicpies de Pappus) en ont connu des cas particuliers.
1123. Voici les deux cas particuliers les plus intéressants :
En supposant un ou deux côtés infiniment petits et remplacés par des tangentes, on a ces énoncés :
Quand un triangle est inscrit dans un cercle, les" points où une transversale rencontre la courbe, deux côtés du triangle, le troisième côté et la tangente au sommet opposé, sont en involution.
Quand un angle est circonscrit à un cercle, les points où une transverscde rencontre la courbe, les deux côtés de r angle et la corde de contact, forment une involution dont le dernier point est un point double.
En supposant que le quadrilatère circonscrit se réduise à un triangle ou à un angle, on a ces énoncés :
Quand un triangle est circonscrit à un cercle, si d'un point quelconque de son plan on mène les deux tangentes au cercle, les deux droites qui aboutissent à deux sommets, et les deux droites qui aboutissent, l'une ou troisième sommet, r autre au point de contact du côté opposé, on obtient un faisceau imoliitif.
Quand un angle est circonscrit à un cercle, si d'un point quelconque de son plan on mène les deux tangentes au cercle, les deux droites qui aboutissent aux points de con' tact des côtés de l'angle et la droite qui passe par le sommet de V angle, on obtient un faisceau involutif dont la dernière droite est un rayon double.
CO.NSTmCTIONS RELATIVES A L HOMOGRAPHIE ET A L INVOLLTION.
1124. Construire deux divisions homographiqucs , connaissant trois couples de points homologues.
