LIVRE M[I. — LES COIRBES LSIKM-ES

Noiis avons déjà donne une premii-rc solulion de ce pioblèiiic ( 1 1();{). En voici deux autres.

Supposons les deux divisions tracées sur deux droites différentes L et L'el soient («,«'), {b,b'), {c\c') trois couples de points homologues.

1° Prenons l'intersection p de ab' et de a' h, l'intersection 7 de ac et de a'c, et tirons la droite py que nous désignerons par /; m étant un point quelconque de la division L, menons n'm et joignons au point c/lepointfx, où a' m coupe a; la droite c/f/. rencontrera L'au point w' homologue de m. En effet, en désignant par y. I,e point où /. coupe an', on voit que les divisions ûùcm, a'b'c'm' sont homographiques comme étant homologiques de la division y.y/y. (J/g. J79).

9° Décrivons un cercle quelconque dans le plan des droites L et L' {Jîg. 58q) et joignons à un point quelconque 0 de la circonférence les points o^b,c, n\b\c', m; les droites ainsi obtenues couperont la circonférence en des points que nous désignerons respectivement par a, [5, y, 0L',p',y',u. B étant le point commun à yW ei y.'p, C le point commun à ay' et a'v, tirons la droite BC que nous désignerons par ).. En joignant le point 7. au point de rencontre M de ). et de a'u, on obtient une droite aM qui coupe le cercle en p',et il suffit de mener Oft' jusqu'à sa rencontre avec L'pour avoir l'homologue /«' de m. En effet, si /«' désigne l'homologue de /«, les faisceaux {0,abcni), et [O^n'b'c'm') ou (0, «^7/*), (0, a'P'7'pi'), sont homographiques; donc (1108) il en est de même des faisceaux (a,a'|i'7'pi') et (a', x[i7fy.); mais, coumie ces derniers faisceaux ont un rayon

GÉOMÉTRIE I)A>S l'eSPACE.

homologue commun aa', les intersections B, C, M, de? autres couples de rayons homologues sont en ligne droite; donc, les rayons uu.' ela'pi

Fifr. 5So.

se croisent sur la droite BC ou >v; en d'autres termes, la droite qui joint a au point M, où y.'i^. rencontre >., passe par le point p.', oiiOm' coupe le cercle.

Cette dernière construction s'applique au cas où les deux divisions (rt,/7, ), (i,^,) (c,c,) sont sur la même droite L, et elle donne aisément \qs points doubles e et/; il suffit, en effet de joindre le point 0 aux points £ et <p où \ coupe le cercle et de prolonger les droites Os et Oy jusiju'à leurs rencontres avecL; si la droite X est extérieure au cercle, les points doubles sont imaginaires.

4125: Construire un faisceau involutif, connaissant deux couples [On et 0«'), [Ob et 0^'), de rayons homologues.

On tracera [fig. 576) un cercle quelconque passant par le point 0, et l'on déterminera le point w de concours des cordes aa\ bb', interceptées par les deux angles aOa', bOb'. Cela posé, on obtiendra :

x° Le rayon 0<?'. homologue d'un rayon donné quelconque Oc, en joignant le point w au point c où Oc rencontre le cercle, puis le point 0 au second pointe' d'intersection du cercle et de la droite wc (liJ9);

1° Les rayons doubles, en joignant le point 0 aux points de contact des tangentes menées par w;

3" Le système des deux rayons rectangulaires, en joignant le point 0 aux extrémités du diamètre qui passe par w.

1126. Deux faisceaux involutifs de mente sommet étant donnés chacun