LIVRE VIII

LIÎS COURBES USUELLES.

deux points doubles réels ou imaginaires.

1° Que la courbe passe par les centres P etV des deux faisceaux ; car la droite PP', considérée comme un rayon du faisceau P, rencontre en P' le rayon homologue du faisceau P'. On voit de même que la courbe passe en P.

3° Que la tangente en P est le rayon du faisceauV ^ (jui est r homologue de la droite P'P considérée comme rayon du faisceau P'; car, lorsque le point a de la courbe vient en P, le rayon Va devient tangent en P et son homologue Va vient se confondre avec P'P, De même, la tangente enV est le rayon du faisceau P' fjui est l'homologue de la droite PP' considérée comme rayon du faisceau P.

Cela posé, « par le point de con- » cours 0 des tangentes en P et » en P' à la courbe considérée P«P', » menons dans l'espace une droite » quelconqueOz ; dansl'angle zOP, » inscrivons un cercle tangent à OP » au point P, et désignons parQle » point où ce cercle touche Oz.

» a étant un point quelconque de » la courbe P«P', menons Va qui » coupe OP en ///, puis Qw qui ren- » contre le cercle en a' . Quand le » point a décrit la courbe, les » droites Va et Qa' engendrent » deux faisceaux homographiques ; » maislesfaisceaux décrits par Prt'et » Q«' sont homographiques (1130), )) et ii en est de même par hypo- |

divisions sont homographiques ; ils ont donc deux rayons doubles (réels ou imaginaires).

2" Que la courbe est tangente aux bases Ox et Oy des deux divisions; car la droite Ox unit deux points homologues des deux divisions, savoir : le point 0 considéré comme appartenant à la division Ojr et le point homologue de la division 0^.

On voit de même que la courbe touche Oy.

y Que le point de contact P de la tangente Ox est le point qui ^ sur cette droite, répond au point 0 considéré comme appartenant à la division Oy\ car, lorsque la tangente y.am se confond avec Ox^ le points devient le point de contact P et son homologue a arrive en 0. De même, le point de contact P' de la tangente Oyest l'homologue du point 0 considéré comme appartenant à la division Ox.

Cela posé, par le point 0 menons dans l'espace une droite quelconque Oz; inscrivons dans l'angle zOx un cercle tangent à Ox en P, et désignons par Q son contact avec Oz.

a étant un point quelconque de lacourbe Va P', menons la tangente correspondante qui coupe Oxen m et Ojen a ; puis, par m, menons la tangente /««'au cercle Qrt'P, et désignons par a' le point où cette tangente coupe Oz. Quand le point a décrit la courbe Pc/P', les points a ei/« tracent sur O/et Ox deux divisions qui, par hypothèse, sont homo-

392 GÉOMÉTIUE D

-) thèse des faisceaux engendrés i"ar r> Va et ?'ti. Donc les droites P« » et P<^/' engendrent deux faisceaux » homographiques, et, par suite, les » points a et a', où les rayons mo- » biles Prt et P«' rencontrent les » droites fixes OP' et OQ, forment » sur ces droites deux divisions ho- » mograpliiques. Les points F' et Q » sont deux points homologues de » ces deux divisions {m est alors » en 0) ; de plus, le point 0 est un » point correspondant commun {m r> est alors en P). Donc (1103) la » droite az' coupe la droite fixe QP' » en .un point fixe S.

wParconséquent, l'œil étant placé n en S, la droite P'/» sera la pron jecti.on de Q/ii, etPy. sera celle )' de P x' ; donc a sera la projection » de a' et, enfin, la courbe propo- 1 sée PrtP' sera la projection du » cercle Va'Q (').

VNS L ESPACE.

graphiques; lesdi\isions tracées sur Oj"etOzpar m et y.' sont aussi homographiques (1130); donc les points y. et a' décrivent sur 0/ et Os deux divisions homographiques.

Les points P' et Q sont deux points homologues de ces deux divisions /ii est alors en 0); de plus, le point 0 est un point correspondant commun ( /« est alors en P). Donc, la droite mobileaa' coupe (1103) la droitefixe QP' en un point fixe S.

Par conséquent, l'œil élanl placé en S, la droite y/n sera la projection de y'm, et, comme la première enveloppe la courbe Pr/P' et que la seconde enveloppe le cercle Q«'P, on voit que la courbe Pr/P' est la projection du cercle Vn'Q.

1132. Les principales propriétés des coniques résultent aisément de ce double mode de génération. Ces deux générations, l'une par point, l'autre par enveloppe, étant corrélatives, lorsque, en partant de l'une d'elles, on aura démontré un théorème, il suffira, pour démontrer le théoièmo corrélatif, départir de l'autre mode de générationiet de faire des raisonnements corrélatifs des premiers.

Cinq points déterminent une conique ; car, après avoir pris deux de ces points pour centres des deux faisceaux générateurs, il suffit de joindre chacun d'eux aux trois autres points pour avoir trois couples de rayons homologues.

Ci/Kj tangentes délerniiiient une conique; car, en considérant deux de ces tangentes comme fixes, les trois autres traceront sur elles trois couples de points homologues des deux divisions homographiques qi;i déterminent laconique.

Il suit de là que la projection C d'une conique C sur un plan quelconque P ne passant pas par le centre de projection est encore une conique. En elfet, la courbe C est le lieu des intersections des ravons

(') Eugène RinciiÉ, Bulletin de la Société Philomathique, \" juillet iSb.ï.