LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLES. SqS

liomologues de deux faisceaux homographiques, qui sont les projections des deux faisceaux généraleurs de la conique C. La proposition rcsullo encore de ce que la courbe C est l'enveloppe des droites joignant les points eorrespondantsdc dcuxdivisions homographiques, qui sont les projections des deux divisions qui définissent la conique C comme enveloppe.

i 133. Les deux faisceaux homographiques qui déterminent la conique ont deux couples de rayons parallèles (réels OU imaginaires); car, sil'on transporte l'un des faisceaux parallèlement à lui-mêrnc, de façon que son centre coïncide avec le centre de l'autre faisceau, on a deux faisceaux homographiques concentriques qui ont (1109) deux rayons doubles (réels ou imaginaires).

Si les deux couples de rayons parallèles sont imaginaires, la courbe n'a aucun point à l'infini; elle est fermée, et nous lui donnerons le nom <\'eirt})se, en nous réservant de démontrer plus tard son identité avec l'ellipse définie au n° 973.

Si les deux couples de rayons parallèles sont réels, la courbe, a deux points à l'infini; nous lui donnerons le nom d'/n/ie/'Z'o/e, et nous démontrerons plus tard son identité avec l'hyperbole définie au n" 999.

Enfin, si les deux couples de rayons parallèles coïncident, la courbe a deux points à l'infini confondus en un seul, et, par suite, elle est tangente à la droite de l'infini; nous lui donnerons le nom de parabole^ et nous démontrerons plus tard son identité avec la parabole définie au n" 1027.

Tels sont les trois genres de coniques. Comme variétés de ces courbes, on peut avoir :

i" Deux droites (réelles, coïncidentes ou imaginaires), lorsque les deux faisceaux sont concentriques (1109), ou lorsque la drcile qui unit leurs centres est un rayon homologue commun (IIOS);

2° Deux points (réels, coïncidents ou imaginaires), lorsque les deux divisions ont la même base ( 1 104), ou lorsque le point d'intersection des deux bases est un point homologue commun (1103).

.113i. On dit qu'une courbe est alt^ébrique ou transcendante suivant que son équation en coordonnées rectilignes x qi y est algébrique ou transcendante. On appelle ordre d'une courbe algébrique le degré en .r et y de son équation préalablement rendue rationnelle et entière par rapport à ces variables. Pour que cette définition no soit pas contradictoire, il faut montrer que le degré de l'équation est indépendant de la position de la courbe par rapport aux axes de coordonnées. C'est ce que nous allons établir.

Considérons une droite située d'une manière (piclconfiue par r.i|i;iort aux axes coordonnés or et oy. Soient M, M', M",..., divers points de cettedroite,P,P'P",. . ., les extrémités de leursabscisses.etQ, Q'jQ",. . .,

394 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.

les extrémités de leurs ordonnées comptées sur oy. Les deux divisions PP'P", . . ., QO'Q*i- • •' sont homographiques et semblables, car chacune d'elles est évidemment semblable (1102) à la division JMM'M", . . .; il y a donc entre a: == oP et j = oQ une relation homographique privée de termes en xy, c'est-à-dire que les coordonnées d'un point quelconque M de la droite sont liées constamment par une équation du premier degré.

L'équation d'une ligne droite étant du premier degré, quelle que soit là situation de cette droite par rapport aux axes coordonnes, il faut nécessairement que, si x et j sont les coordonnées d'un point par rapport à certains axes joj:, et x' qIj' les coordonnées du même point par rapport à d'autres axes y'ox\ x et y soient des fonctions du premier degré de x' et j'. Par suite, la substitution de ces valeurs de x et j dans une équation algébrique en j: et j n'altérera pas le degré de cette équation. En d'autres termes, l'ordre de la courbe représentée par cette équation sera le même, quels que soient les axes auxquels on la rapporte.

Une courbe algébrique d'ordre n est coupée en n points {réels ou imaginaires) par une droite quelconque. En effet, en prenant cette droite pour axe des x, l'équation de la courbe sera toujours du degré n d'après ce qui précède ; et, si l'on fait y = o, l'équation se réduira à une équation du degré n en x, qui donnera les abscisses des points communs à la courbe et à la droite; or, on sait par l'Algèbre qu'une équation algébrique rationnelle et entière du degré n hn racines réelles ou imaginaire. Ainsi, l'ordre d'une courbe algébrique exprime le nombre des points suivant lesquels cette courbe est rencontrée par une droite quelconque.

Les coniques sont donc des courbes du second ordre (1131). Inversennent, toute courbe du second ordre est une conique; car, l'équation générale du second degré à deux variables x etj)' ne renfermant que cinq coefficients arbitraires, on voit que cinq points déterminent une courbe du second ordre; mais, par ces cinq points, on peut faire passer une conique et une seule ( 1132); et, comme cette conique est du second ordre, elle ne diffère pas de la courbe proposée.

113S. Les théorèpies de Pascal (328) et de Desargues (1121), les propositions corrélatives ainsi que leurs corollaires sont applicables aux coniques; les démonstrations données aux n°* 328, 329, 1121, 1122, subsistent sans modification.

Le théorème de Desargues a été généralisé par ^\.\ivm{Jnnales de Gergonne,l. XVII). Considérons unesuite de coniques circonscritesà unmême quadrilatère : soient aa', bb\ ce'., ... , les segments que ces coniques interceptent sur une transversale quelconque L, et pp'., qq'., les segments de cette même droite compris entre les deux couples décotes opposés du quadrilatère. Les deux couples de points (/?,/?'), (7,(7') déterminent sur la droite Lune involution à laquelle appartient, en vertu du théorème de Desargues,

L1.VRE Vin. — LES COURBKS USUELLES. SqS

chacun des couples {n, a'), {h, b'), (c, c'), . . . ; donc ces derniers couples de points forment une invohilion, et l'on a ce théorème : Les coniques qui passent par quatre points fixes déterminent sur une transversale quelconque une série dépeints en im'olutio/i. On démontrerait pareillement le théorème corrélatif: Les tangentes menées d'un même point aux coniques tangentes à quatre droites fixes forment un faisceau en invoiution.