COMPLEMENT DE LA METHODE DES POLAIIIES RECIPROQUES

116 i. Nous nous proposons, dans ce paragraphe, de compléter et de généraliser la théorie que nous avons exposée aux n"' 348 et suivants.

Nous nommerons orii^inc le centre 0 du cercle auxiliaire par rapport auquel on prend les pôles ot les polaires, et nous désignerons par R son rayon.

La polaire réciproque d'un cercle C situé dune manière quelconque par rapport cni cercle auxiliaire 0 est une conique qui a pour foyer l'ori- <^ine 0 et pour directrice la polaire MM' du centre C du cercle proposé par rapport au cercle auxiliaire [fïg. Goo).

Imjj. 6oo.

En effet, désignons par p le rayon du cercle proposé C et par o la distance OC de son centre à l'origine. TP étant une tangente quelcuncpi» du cercle C et Q son pôle par rapport au cercle 0, on a (351, 2"), en désignant par QX la distance du point Q îi la droite MM',

OQ QN

OC

Le rapport des distances du point variable Q au point fixe 0 et à la droite fixe MM' est donc constant.

L'excentricité - de la conique obtenue est inférieure, supérieure ou P égale à un, suivant que S est inférieur, supérieur ou égal à p. Donc, la

conique est une ellipse, une hyperbole ou une parabole, suivant que l'ori' gine 0 est intérieure, extérieure au cercle proposé C ou située sur la circonférence de ce cercle.

Cette proposition, combinée avec le principe du n" 330, permet de déduire de toute propriété du cercle une propriété focale des coniques.

Comme exemple, transformons la propriété de l'angle inscrit : L'angle ^\XB, formé enjoignant un /)oint variable d'une circonférence de cercle à deux points fixes de cette circonférence, est constant et égal à la moitié de l'angle au centre ACB correspondant. Au cercle, répondra une conique ayant pour foyer l'origine 0 et pour directrice la polaire 7 du point C par rapport au cercle auxiliaire 0; aux points A, B,M, répondront deux tangentes fixes a et 6, et une tangente variable pdela conique. Les points d'intersection de f* et a, de p. et ê, de 7 et «, de 7 et S, seront respectivement les pôles des droites Î\L\, MB, CA, CB, et par suite, en vertu du principe du n° 330, on aura ce théorème : L'angle sous lequel on voit du joyer 0 d'une conicjue la portion d'une tangente mobile fx comprise entre deux tangentes fixes a et &., est constant et égal à la moitié de l'angle sous lequel on voit du foyer la poi-tion de là directrice 7 comprise entre les deux tangentes fixes y.et fj.

Voici d'autres exemples :

Deux tangentes d'un cercle sont également inclinées sur la corde des contacts.

Le lieu du sommet d'un angle de grandeur constante circonscrit à un cercle est un cercle concentrique, et la corde des contacts enveloppe un cercle aussi concentrique.

Si une corde d'un cercle est vue sous un angle constant d'un point

La droite qui joint le foyer d'une conique à l'intersection de deux tangentes divise en deux parties égales l'angle sous lequel on voit du foyer la corde des contacts.

Si une corde d'une section conique est vue du foyer sous un angle constant, cette corde enveloppe une section conique ayant même foyer et même directrice que la proposée ; le point de concours des tangentes aux extrémités de cette corde décrit une section conique ayant aussi même foyer et même directrice que la proposée .

Le lieu du sommet d'un angle de grandeur constante circonscrit à la

LivRi: vin.

LES COURBES USUELLES

fixe A de la circonférence^ cette corde enveloppe un cercle concentrique.

Les projections d'un point A d'une circonférence de cercle sur les côtés d'un triangle inscrit quelconque sont en ligne droite.

parabole est une conique ayant le même foyer et la même directrice.

Si, par les sommets d'un trianole circonscrit à une parabole, on élève des perpendiculcùres sur les droites qui joignent ces sommets au foyer F, les trois perpendiculaires concourent en un même point I .

Dans les deux derniers exemples, on a pris pour origine le point A ; et, comme ce point est sur la circonférence, la transformée de cette circonférence est une parabole. Observons, en outre, qu'en vertu du dernier théorème obtenu, si l'on décrit un cercle sur FI comme diamètre, ce cercle passera par les sommets du triangle circonscrit ; de là celte proposition : Le lieu des foyers des paraboles tangentes à trois droites fixes est le cercle circonscrit au triangle formé par ces trois droites.

i 163. Im polaire réciproque d'une conique C par rapport h un cercle auxiliaire 0 est une conique C .

En effet, la conique C peut être considérée (11:^0) comme l'enveloppe des droites /«/«' qui joignent les points homologues m et nï de deux divisions homographiques tracées sur deux tangentes fixes L et L'. Or, soient /, V, w, les pôles des tangentes fixes L et L' et de la tangente mobile /«/«'; les droites \u, /'p., décriront deux faisceaux homographiques. Car les droites issues de )> répondant anliarnioniquement aux points de la division L, et les droites issues de ^' aux points de la division L' (1108), quatre droites quelconques issues de À auront même rapport anharmonique que les quatre droites homologues issues de >', attendu que quatre points quelconques de la division L ont même rap[)ort anharmonique que les quatre points homologues de L'. Donc le lieu des points u. est une conique qui passe par les points )> et ).' (H31, 2^).

A chaque propriété des coniques en répondra dès lors une autre |)ar la méthode des polaires réciproques.

Voici des exemples :

Le lieu des sommets des angles droits circonscrits à une ellipse ou à une hyperbole est un cercle.

Le lieu des projections d'un foyer

L'enveloppe des cordes d'une conique, qui sont vues sous un angle droit d'un point fixe du plan dr In conique, est une cuitre conique dont ce point fixe est le fo)er.

Si par chaque pnint d'un cerrlc

43o GÉOMfiTRlE DANS l'eSPACE.

sur les tangentes d'une ellipse ou d'une liypnhole est un cercle.

on élève une fjerpendiculaire sur la droite qui joint ce point à un point Jixc^ r enveloppe de ces perpcndicu- Unres est une conicjue dont ce point fixe est le foyer.

M68. Reportons-nous au théorème du n° 353. Si, sans rien changer au raisonnement, on avait pris pour origine de la transformation un point quelconque au lieu du centre du cercle circonscrit au quadrilatère, on aurait obtenu pour théorème corrélatif :

Dans tout quadrilatère circonscrit à une conique, le produit des distances de deux sommets opposés à une tangente quelconque est dans un rapport constant avec le produit des distances des deux autres sommets à la même tangente.

Cette dernière proposition, transformée à son tour par la méthode des polaires réciproques, donne alors :

Dans tout quadrilatère inscrit h une conique, le produit des distances d'un point quelconque de la conique à deux côtés opposés est dans un rapport constant avec le produit des distances du même point aux deux autres côtés.

Ce théorème est attribué à Pappus. On doit remarquer la manière dont nous l'avons obtenu et qui consiste dans une double application de la méthode des polaires réciproques.

Les explications données au n° 353 permettront au lecteur de voir luimême comment ces théorèmes peuvent se généraliser et s'étendre à des polygones. Nous appellerons ici, au contraire, l'attention sur un cas particulier. Lorsque deux côtés opposés du quadrilatère inscrit deviennent tangents à la conique, les deux autres se confondent avec la corde de contact, et le théorème de Pappus devient le suivant : Le produit des distances d'un point quelconque d' une conique aux deux côtés d'un angle circonscrit est dans un rapport constant avec le carré de la distance du même point à la corde de contact. Le théorème corrélatif s'énonce : Le produit des distances de deux points Jixes d'une conirpie à une tangente variable est dans un rapport constant avec le carré de la distance de V intersection des tangentes aux deux points fixes à la même tangente variable; il résulte immédiatement de la propriété des quadrilatères circonscrits, lorsque l'on suppose que deux côtés adjacents du quadrilatère viennent seconfondre avec les deux autres.

•1167. On peut généraliser toute cette théorie en substituant au cercle

auxiliaire, par rapport auquel on prend les pôles, une conique auxiliaire :

La courbe polaire j'ccipi-oque d'une conique quelconque par rap-