LIVRE Vllî. — LES COURBES USUELLES

port à une conique auxiliaire est encore une coni<juc. La démonslralion du n° 1!6j s'applique snrs modiQcations.

La méthode ainsi généralisée se prête avec la môme facilité à la transformation des propriétés descriptives; mais il n'en est plus de même pour les propriétés métriques, et, quand il s'agit de transformer de telles propriétés, il convient de prendre un cercle auxiliaire.

La transformation par polaires réciproques, avons-nous dit au n° 349, laisse ignorer comment on pourrait démontrer directement les propositions que l'on découvre de la sorte. Ce reproche ne s'adresse qu'à la manière dont on applique ordinairement la méthode, en se bornant à transformer les énoncés ; mais, en réalité, comme l'a montré M. Mannhoim {Transformation des propriétés métrirpies, i85-), la méthode se prête à la transformation des démonstrations. Une démonstration n'est, en effet, qu'une chaîne de propositions qu'il suffit de transformer une à une pour avoir les anneaux successifs de la chaîne qui constitue la démonstration directe. C'est ainsi que nous avons procédé en déflnilive aux n°' 326 et 327, 328 et 329, etc.

1168. Deux courbes polaires réciproques sont telles, que chacune d'elles est coupée par une droite quelconque en autant de points (réels ou imaginaires) qu'on peut mener de tangentes (réelles ou imaginaires) à l'autre par un point donné quelconque. On nomme classe d'une courbe algébrique le nombre des tangentes réelles ou imaginaires qu'on peut mener à cette courbe d'un point quelconque. D'après cela, on peut énoncer la propriété précédente de cette manière plus concise : Quand deux courbes sont polaires réciprocpies, l'ordre de r une est égcd à la classe de l'autre.

Les coniques sont des courbes de la seconde classe, et, inversement, toute courbe de la seconde classe est une coniqur.

D'après la définition que nous avons donnée au n" M62 des foyers des Courbesplanesd'ordrequelconque, on voit (\\\'unc courbe de la classe n possède n'^ foyers, puisque l'on peut mener à cette courbe n tangentes de chacun des deux points cycliques, et que ces deux faisceaux de n droites ontrt' points communs, dont n seulement sont réels ; cesontceux qui sont fourrn's par la rencontre de deux tangentes imaginaires conjuguées.

Si la courbe est tangente à la droite de l'infini, le point de contact à l'infini est un foyer réel, et il n'y a plu? que n — i foyers réels à distance finie. Quant aux foyers imaginaires, il y en a (« — i j' — («— i ), outre les deux points cycliques qui, par conséquent, tiennent lieu chacun de n — I foyers.

432 GÉO.MÉTUIE DANS LliSPACE.