PROPRIETES DES POINTS ET DES DROITES IMAGINAIRES

H69. Nous avons expliqué (1044) comment un système de deux quantités réelles x et j, dites coordonnées, détermine la position d'un point du plan; ce point est dit réel. Par analogie, on dit que deux quantités imaginaires, x' et y, c'est-à-dire deux quantités de la forme

(i) x' = a -\- bi. y' — a'-\-b'i,

où (1, b, a\ b', désignent des nombres réels et / le symbole {/— i, déîeripiaent un point imaginaire dont elles sont les coordonnées. Deux points sont appelés imaginaires conjugués lorsque leurs coordonnées sont respectivement imaginaires conjuguées ; ainsi le point imaginaire conjugué de celui que déterminent les valeurs (i) a pour coordonnées

(a) x\ = a — bi, >', = a' — /;'/.

Nous avons vu (U3i) qu'une équation du premier degré

(3) A.r-f- Bj-t- C — o, '

dont les coefficients A, B, C, sont réels, représente une ligne droite, ce qui veut dire que le lieu des points réels dont les coordonnées satisfont à cette équation est une ligne droite. Par analogie, on nomme droite imaginaire l'ensemble des systèmes de valeurs imaginaires de x et de y qui satisfont à une équation du premier degré à coefïicients imaginaires

(4) (A' + A"/)ar+ (B'^ B"/) J -t- C'-+- C"/ ^ o.

Deux droites sont appelées imaginaires conjuguées lorsque les coefficients de leurs équations sont respectivement imaginaires conjugués; ainsi, la droite imaginaire conjuguée de celle qui a pour équation (4) est représentée par l'équation

De ces définitions, résultent les conséquences suivantes : 1° Toute droite réelle contient [outre une infinité de points réels) une infinité de points imaginaires ; car, |)0ur toute valeur imaginaire attribuéeà.r, réquation(3) donne une valeur imaginaire correspondante de j'. 2° Une droite réelle qui contient un point imaginaire contient aussi son conjugué; car. si l'on exprime que lesvaleurs(i) ou les valeurs (2) satisfont à l'équation (3), on trouve dans les deux cas les deux mêmes conditions

Aa -t- B^ -♦- C — o, ka'-^\ib'=o.

LIVRli Vin. — LtS COLRBtS USUILLES. 433

Réciproquement, la droite qui contient deux i/oinls imagitudres conjugués est rcclle; en effet, l'équation

représente la droite qui passe par les points réels ou imaginaires dont les coordonnées sont j:' et y, x" etj", attendu que cette équation est du premier degré et qu'elle est satisfaite soit par x = jr' et r = j', soit par x= x"et/=y. Or, si les deux points sont imaginaires conjugués, c'està-dire %\x' et y, x" ety ont respectivement les valeurs (i) et (2), la substitution de ces valeurs réduit l'équation à la suivante :

« h X — h y — db' — bn\

qui a ses coefficients réels.

3° Toute droite imagiiuiire contient un point réel et un seul, ijiii appartient aussi à sa conjuguée) cas, pour qu'un couple de valeurs réelles de.r et dej satisfasse à l'équation (4) ou à l'équation (5), il faut et il suffit que ces valeurs vérifient le système

Or ces équations, étant du premier degré, donnent pour x et j un couple unique de valeurs réelles; l'une des coordonnées ou les deux peuvent être infinies; on dit alors que le point est à l'infini. Mais le système ne peut être indéterminé, car on voit immédiatement que, si les équations (6) avaient leurs coefficients proportionnels, la droite (4) serait réelle.

4° Les coordonnées du milieu de la droite qui joint deux points réels (x',y), {x'\y'), ont pour expression

Par analogie, quand les points (.r', r'), [x",y'], sont imaginaires, on dit encore que le point dont les coordonnées ? et n sont exprimées par ces formules (7) est le milieu de la droite qui joint les deux points. On voit immédiatement, par la substitution des valeurs (i) et (-.t), que le point milieu est réel si les deux (joints considérés sont imaginaires conjugués ; il serait imagin;:ire si les deux points éiaient imaginaires non conjugués.

5"" L'intersection de deux droites réelles est le point rOd dont les coordonnées sont les valeurs de x et de j fournies par la résolution des équations des deux droites. L'intersection de deux droites imagimnrcs conjuguées est aussi un point réel; car le système de leurs équations ( 4 ) et (5 ) peut . par addition et soustraction, être remplacé par le syslème (0). qui esta coeilicienls réels. — Mais deux droites peuvent évidemment se couper

R. et DE C. — Tr. de Gconi. (11= Partie). 28

en un point réel sans être réelles ou imaginaires conjuguées; mr exemple, les deux droites imaginaires non conjuguées y = (7.-i-pi)x, y— [y -+- rJi]x passent l'une et l'autre par l'origine.

Telles sont les notions fondamentales sur lesquelles repose l'introduction des imaginaires en Géométrie. 11 serait vain de vouloir le déguiser : c'est l'Analyse qui fournit ces principes; puis, la Géométrie s'en empare et en déveloi>pe les conséquences avec les moyens qui lui sont propres, comme nous allons le voir dans l'étude de la question suivante.