R MNP' NT PM MN
"a ~ "ÂhNP NT' P'M' ATN^'
mais le premier rapport du second membre est égal à -j (7U(), lOoG) cl
les autres sont égaux respectivement a -i -, -> pui.-uue deux droites ' a a a ^
parallèles .sont entre elles comme leurs projections. La relation précédente se réduit donc à
mnp R = — j-i c. 0. V. D.
ab
Si les points N et P se réunissent en M, les (|u:inlilés m, //, /', deviennent égales au demi-diamètre «î parallèle à la tangente en M, et l'on
a pour le rayon du cercle osculateur en M l'expression —, ou encore, en
44o GÉOJlfîTUlE DANS l'eSPACE.
vertu du second ihéoièrae d'Apollonius, l'expression—» dans laquelle p désigne la distance du centre de l'ellipse à la tangente au point M. Cette expression se réduit à — ou à -t- quand le point considéré est l'extrémité du grand axe ou du petit axe.
CONIQUES TANGENTES, B ITANG E ?;T E S , OSCU LATH ICES.
1176. Coni(j[ie!i tangentes. — Quand deux coniques se touchent en un point (7, ce point est la réunion de deux poinis communs a et />, et il ne reste plus que deux autres points communs c et f/, qui sont réels ou imaginaires conjugués.
La tangente en <7 et la droite cd forment un couple de cordes communes; ce couple est réel. Quant aux deux autres couples, ils se confondent en un seul ac et w/, qui est réel si c et d sont réels et imaginaire si f et .'/ sont imaginaires.
Outre la tangente en r/, il n'y a plus que deux tangentes communes réelles ou imaginaires; leur point d'intersection et le point a forment un système d'ombilics réels, et il n'y a plus qu'un autre couple d'ombilics : ce sont les points réels ou imaginaires où la tangente en« rencontre lesdeux autres tangentes communes.
Coniques hitangentcs. — On dit que deux coniques sont bitangcntes ou ont un double contact lorsqu'elles se touchent en deux points ; nous désignerons ces deux points par i^ et //, et le point d'intersection des tangentes en ij- et h par / .
Il n'y a plus encore ici que deux systèmes de cordes communes: le premier est formé par les tangentes l-g gI A//, et le second par la droite double ou corde de contact gh. Les points g et li forment un couple d ombilics, et le point h forme à lui seul le second couple.
Quant à la réalité, il faut distinguer deux cas, suivant que le double contcict des deux coniques est/'cWou imaginaire, c'est-à-dire suivant que les points g et h sont réels ou imaginaires conjugués. Dans le premier cas, les cordes communes et les ombilics que nous venons d'énumérer sont tous réels. Dans le second cas, la corde de contact gh forme le seul couple de cordes communes réelles et son pôle /■ forme le seul couple d'ombilics réels.
Quand deux coniques ont un double contact :
i" Les polaires d'un point quelconcjue M de leur plan se coupent sur la corde de contact; car elles doivent se couper (llTi) sur la polaire de M par rapport aux systèmes des deux cordes communes confondues avec la corde de contact, polaire qui coïncide avec cette dernière corde.
LIVRR vm. — LES COURBES USUELLES. j|l
1° Les pôles (Vunc droite quclcnmiiœ A sntileii lij^ne droite avec le pôle de In corde de contact qu'on nomme j>6le de contact ; c'est la proposition coirélative de la précédente.
3" Tout point k de la corde de contact est un pôle double, car, pour chacune des coniques, la polaire de h contient le pôle de contact et le point /•' conjugué harmonique de /■ par nipport aux deux points de contact. Nous trouvons ainsi un cas d'exception à la proposition : deux coniques n'ont, en général, que trois pôles doubles.
Coniques oscidntrices. — On dit que deux coniques sont osculatrices ou quelles ont un contact du second ordre lorsque trois de leurs points communs sont réunis en un seul que nous appellerons w. Elles ont alors un quatrième point d'intersection d(\m est toujours réel, et, o\itre la tangente en w, une tangente commune réelle cf; soit t le point oîi la tangente en w rencontre la tangente cl.
Il n'y a qu'un système de cordes communes; il est réel et formé par la tangente oH et par la corde wr/, 11 n'y a aussi qu'un couple d'ombilics : ce sont les points réels oi et /.
On dit que deux coniques ont un contact du imisièine ordre, lorsque leurs quatre points communs sont réunis en un seul w. Les quatre tangentes communes sont alors confondues en une seule qui est la tangente w^ au point w. Cette même droite w^ est la seule corde commune et le point 0) le seul ombilic.
C0NIQI:ES HOMOLOGIQUES .
1177. Lajigure honiolngique d'un cercle, lorsqu'on prc/nl le centre du cercle pour centre d'/io/nologie, est une conique qui a ce centre pour foyer; car si, dans l'avant-dornière formule du n° 730, Om' est constant,
il en est de même du rapport — r; par suite, le rapport des distances
d'un point quelconque m de la figure cherchée au point fixe 0 et à la droite fixe I est constant.
Par suite, une conique étant donnée, on voit qu'il faut placer le centre d'iiomologie 0 à l'un des foyers pour que la figure homologique soit un cercle de centre 0.
C'est cette propriété que M. Chasles prend pour définition des foyers dans son Traité des Sections coniques. La marche que nous avons suivie (n°' iloa et suivants) est à la fois plus directe et plus simple.
1178. La //gure hoiuolof^ique d'une conique C est une conique C.
Kn effet, P et 0 étant deux points fixes pris arbitrairement sur la conique donnée C, et m un point variable de cette conicpie, les droites
{^^2 GÉOMÉTRrE DANS l'eSPACE.
Pw, Q/ii, eiii^endrenl deux faisceaux liomograpbiqiies (IdSO). Or, si P', Q', m', sont les homologues de P, Q, m, le faisceau engendré par F' m' tournant autour du point fixe P' sera homographique du faisceau engendré par P/;/ (73'J); de môme, le faisceau décrit par Q'/?/' sera homographique du faisceau décrit par Qw, Donc les faisceaux engendrés par V'ni' et Q' m' sont homographiques, et (1131) le lieu du point m' est une conique. — A un point p et à sa polaire L relatifs à la première conique C, r-é pondent dans la seconde conique un point p' et sa polaire L'. Car aux quatre points harmoniques p, <?, </, h, situés sur une transversale issue du point /j, et qui coupe la conique C en a et h et la polaire L en 7, répondent quatre points/)', «', (/',6', qui sont aussi harmoniques (731). On voit par là qu'« deux points ou à deux droites conjuguées relativement à la conique C répondent deux points ou deux droites conjuguées relativement a la conique C. — L'axe cVIiomologie XX' est une corde commune aux deux coniques C et C. En effet, les points communs à la conique C et à l'axe XX' sont les points doubles des deux divisions homographiques tracées sur XX' par les faisceaux générateurs Vm et Qw de cette conique. De même, les points communs à la conique C et à XX' sont les points doubles des deux divisions tracées sur XX' par les faisceaux ?' m' et Q'/«'; mais les rayons homologues des faisceaux P et P' se coupent sur l'axe XX', aussi bien que les rayons homologues des faisceaux Q et Q'. Donc les points doubles sont les mêmes pour les deux divisions. — Enfin on voit, soit par un raisonnement corrélatif du précédent, soit en appliquant à la propriété précédente la transformation par polaires réciproques, que le centre dliomologie S est un ombilic des deux coniques.
Réciproquement, deux coniques quelconques C et C sont deux figures homologiques dans lesquelles l'axe d'iioi/iologie est une corde commune et le centre d'homologie un ombilic correspondant à cette corde. Considérons le trianglep/>'/>", dont chaque sommet est le pôle du côté opposé par rapport aux deux coniques [fig. 6oi) ; par chaque sommet passent deux cordes communes, et sur chaque côté sont situés deux ombilics ; nous appelons ombilics correspondant h une corde commune les deux ombilics placés sur le côté du triangle pp'/?" opposé au sommet qui est situé sur la corde commune considérée. Cela étant, soient XX' une corde commune aux deux coniques proposées, qui les coupe en^-et/, et S l'un des deux ombilics correspondants ; a étant un point quelconque de la conique C, la droite S« rencontre la conique C en deux points : désignons par a' celui de ces deux points qui, lorsque la sécante Srt tourne autour de S, vient se réunir avec a au point e. Si, en prenant S pour centre d'homologie, XX' pour axe et («,«') pour un couple de points homologues, on construit la figure homologique de C, on trouve une
