I.nui: MM. — LES COLKBES i;SI,ELLES

Dans le cas de l'hyperbole, les axes sont parallèles aux bissectrices des angles des droites Ox' et Oj' qui sont les directions asymptotiques. Mais on peut oblenirces parallèles aux axes sans faire intervenir les droitesOx' et Or', de manière à avoir une construction qui s'applique au cas de l'eliipse, dans lequel Ox' et Oj' sont imagin;iires. Il sufllt de iriicer le diamètre du cercle qui passe par le point p' ; les directions demandées seront celles des droites qui joignent le point 0 aux exliémités ds ce diamètre.

CONIQUES HOÎIOTIIÉÏIQUES.

1180. On sait que deux figures homolhétiques ne sont autre chose que deux figures homologiques dont l'axe d'homologie est à l'infini (732). 11 suit.de là et des propiiélés démontrées au n° 1178 que (a figure lioniotliéllque d'une coiiitiuc est une conique, et que deux coniques honiothétiques ont une corde commune à Vinfini. Réciproquement, lorsque la droite de Vinfiid est une corde commune à deux coniques C et C, ces courbes sont liomothétiques . En effet, si deux points de la droite de l'infini sont conjugués par rapport à l'une des coniques, ils sont conjugués par rapporta l'autre; par suite, deux diamètres conjugués quelconques de la courbe C sont parallèles à deux diamètres conjugués de la courbe (7. Cela posé, soient AB et A'B' deux diamètres parallèles des coniques C et C ; M étant un point quelconque de C, AM et BM sont parallèles à deux diamètres conjugués de C, et, par suite, les parallèles A'M'et B'M' à AM et à BM se coupent en un point M' de la conique C. Or (360), les points M et M' ainsi déterminés décrivent deux figures homothéliques

AB

dont le rapport de similitude est -rrrrr

A li

11 résulte delà que toute coniciue passant par les deux points cycliques de son plan est un cercle, car, ayant la droite de l'infini pour corde commune avec un cercle quelconque de ce plan, elle est homothélique à ce cercle.

1181. Deux roni(jues homotliétiijues et concentriques ont un double contact sur la droite de l'infini. En effet, soient = et '^ les points communs aux deux coniques et à la droite de l'infini. Les tangentes en t et y à la première conique doivent passer par le pôle de îo, c'est-à-dire par le centre 0 de cette conique ; de même, les tangentes en s et <j> à la deuxième conique doivent passer par 0 ; donc les deux coniques ont les mêmes tangentes en £ et ^. Réciproquement, deux coniques qui ont un d'iublc contact sur la droite de l'infini sont }iomnthcti<pics et concentriques ; car d'abord elles sont homolhétiques, puisque la droite do l'infini est une corde commune, et, d'autre part, Le centre de chacune d'elles doit être le pôle de la droite de l'infini, qui est le mémo pour les deux

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coniques, puisque c'est le point de concours des tangentes communes en s et y.

1182. Deux figures semblables ne diffèrent en définitive que par l'échelle à laquelle elles sont construites, de sorte qu'un simple changement d'échelle les rendrait égaies. Donc, pour trouver les conditions de similitude de deux courbes de même espèce, il suffit de distinguer, d'après la définition des courbes de cette espèce, les données distinctes et indépendantes relatives à la forme des données relatives à la position. Par exemple, si la connaissance d'une seule grandeur suffit pour déterminer la forme d'une courbe d'une certaine espèce, toutes les courbes de cette espèce sont semblables, car un simple changement d'échelle permet de les faire coïncider. Ainsi tous les cercles sont semblables, toutes les paraboles sont semblables. Si la forme de la courbe dépend de plusieurs données distinctes et indépendantes, il faut que les données angulaires homologues soient égales et les données linéaires homol-ogoes proportionnelles ; car, le changement d'échelle ne permettant de rendre égaux que deux éléments linéaires homologues, l'égalité des autres éléments linéaires homologues doit résulter de celle des deux premiers. C'est ainsi que la similitude de deux ellipses ou de deux hyperboles consiste dans la proportionnalité de leurs axes.

Quand deux paraboles ont leurs axes parallèles, elles sont hainothétiques ; elles touchent la droite de l'infini au même point : c'est le point situé sur leurs axes parallèles.

MÉTHODE FONDÉE SUR LA PtVOJECTION CONIQUE-

H83. Nous avons dit que c'était surtout à propos des coniques qu'apparaîtrait la portée de cette méthode, dont nous avons exposé les premiers principes aux n°* 72o, 726 et 727.

Voici un premier exemple, important par lui-même et par la facilité avec laquelle la méthode s'y applique :

Un triangle ABC étant trace dans le plan d'une conique qui rencontre ses côtés consécutijs AB, BC, CA, en trois couples de points (c, c'), (a, «')) {b,b'), les segments que ces points forment sur les cotés ont entre eux la relation

Ab.Ab' Ca.Ca' Bc.Bc' Ch.Cl/'Ba.Ba'' Ac.Ac' ~^'

Kn effet, cette relation est projective ; car, lorsqu'on a chassé le dénominateur, onvoit qu'elle satisfaitaux conditions prescrites dans le n"727. D'ailleurs, elle est évidente sur le cercle, à cause de la propriété des se-