LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLES

cantos ; donc elle convient à une section conique (Hielcoiniue, [niisim'une telle courbe peut toujours être projetée suivant un cercle.

Ce lliéorcme, dû à Carnot ( Gcoméirie de position, p. 4^7). est la généralisation de celui de MénéUiiis (310). Il a de nombreuses conséf|uences. Par exemple, si le sommet B du triangle ABC est à l'infini, la relation

précédente devient

Ab.kb' ^Ch.Ch'

Ac.Ac' Ca.Cd'

Or, si par un point quelconque D de la droile Cna' on mène une parallèle à AC,qui rencontre la conique en e et e', on aura de mémo

Dt'.De' Cb.Cb' Ba.Da'~ Ca.Cd''

d'où, en rapprochant les deux équations précédentes,

A^>.A^'Df.Dg' Ac.\c'~Da.Ba''

Donc : Si dans le plan d 'une conique on mène par un point <pielconque A deux droites parallèles a deux axes fixes, le rapport des produits des segments [réels ou imaginaires) que la courbe détermine sur ces droites h partir de leur point commun A est constant. Ce théorème est dû à Newton [Énumération des courbes du troisième ordre).

4184. Pour montrer toute la fécondité de cette méthode relativement à la recherche des propriétés des sectionsconiques, il faut établir quelques nouveaux principes.

i" On peut projeter une conique C de telle sorte qu'une droite L de son plan passe à Vinfini, et qu'un point f de ce même plan se projette au foyer de la nouvelle conique C — Le point F doit, d'après cela, être à l'intérieur de la conique C. Par suite, linvolution déterminée sur la droite L par tous les couples de droites conjuguées issues du point F a ses points doubles imaginaires ( 1 140 ) , de sorte qu'il existe de part et d'autre de L deux points P etP'de chacun desquels on voit sous un angle droit les divers segments de l'involution. Plaçons le sommet S du cône sur la circonférence décrite, dans un plan perpendiculaire à celui de la coni(|ue C, sur PP' comme diamètre, et prenons [)0ur plan de projection un plan parallèle à celui du sommet S et de la droile L. De cette façon, la droite L passera à l'infini dans la projection, et chaque couple de droites conjuguées issues du point/ deviendra en projection un couple de droites rectangulaires et conjuguées par rapport à la conique C. La projection du point /sera dune ( ll?)îj) un loyer de cette nouvelle courbe C. Ajoutons que celte conique C sera une hyperbole, une ellipse ou une pariibole,

448 GÉO.MlVilUE DANS l'uSPACE.

suivant que la droite L coupera la conique primitive C en deux points réels, imasinaires ou coïncidents.

Le pôle o de la droite L, par rapport à la conique C, deviendra en projection le centre de la conique C (1142). On peut donc projeter une conique C de manière que deux points j et o de son plan deviennent, en projection, l'un le forer, l'autre le centre de la nouvelle conique C.

En particulier, si /coïncide avec le pôle o de la droite L par rapport à la conique C, le même point sera en projection le centre et le foyer de la nouvelle conique C, qui dès lors sera un cercle. On peut donc pmjete; une conique suivant un cercle de telle sorte qu'un point de son plan se projette au centre du cercle ou qu'une droite de son plan passe à l'infini.

7.° On peut projeter deux coniques situées dans un même plan suivant deux cercles. —Il faut évidemment que les deux coniques proposées aient au plus deux points communs réels ; il existe alors une corde commune réelle qui rencontre les deux coniques en deux points imaginaires (1 170, 2°). En projetant de telle sorte que l'une des coniques devienne un cercle et que cette corde commune passe à l'infini, l'autre coniciue donnera aussi un cercle, car les deux courbes ayant en projection une corde commune à Tinfini seront homothétiques ( 1180), et la figure homotiiétique d'un cercle est un cercle.

Si les deux coniques proposées ont un double contact imaginaire, on peut les projeter suivant deux cercles conce/itri(pies. Car, en projetant l'une des coniques suivant un cercle de telle sorte que la corde de contact passe à l'infini, l'autre conique donnera un cercle de même centre, puisque les deux courbes en projection ayant un double contact sur la droite de l'infini devront être homothétiques et concentriques.

Les deux droites qui joignent le foyer d'une conique aux points circulaires à l'infini sont tangentes à la conique (1162), et la corde de contact est la polaire du foyer, c'est-à-dire la directrice. Donc, deux coniques qui ont même foyer et même directrice peuvent être projetées suivant deux cercles concentriques, attendu qu'elles ont un double contact imaginaire sur la directrice commune.

3° On peut projeter une conique C de telle sorte que deux points [intérieurs] de son plan,fetj', deviennent en projection les deux foyers de la nouvelle conique C. — En effet, en désignant par a et a' les points où la droite /f coupe la conique C, et par / et /' les points qui divisent à la fois harmoniquement les segments aa' et //', il sutlit de projeter de telle sorte que /et /■ deviennent l'un le foyer, l'autre le centre de la nouvelle conique C. Alors la projection de/' sera évidemment l'autre foyer.

On peut projeter deux coniques situées da/is un même plan suivant deux coniques confocales. — Ces deux coniques doivent avoir un seul couple d'ombilics réel.-^, et ces deux ombilics doivent être intérieurs à

LIVIIE Mil. — LtS COLKUES USUELLES. 4^9

l'une et à l'autre courbe. Cela étant, il suffit de projeter de manière que :es deux ombilics deviennent en projection les deux foyers de l'une des courbes; ils seront par cela même les deux foyers de l'autre ( 1161 ).

Voici des applications :

Dans tout quadrUdtcrc inscrit à une cnnie/ue, V intersection des deux diagonales est le paie de lu droite quijoint les points de concours des côtés opposés; 1rs diagonales de ce quadrilatère et celles du quadrilatère dont les côtt'-s sont les tangentes à la conique menées par les sommets du quadrilatère inscrit se coupent au même point et forment un faisceau harmonique. Car, en projetant la conique suivant un cercle, de telle sorte que la droite qui joint les points de concours des côtés opposés du quadrilatère inscrit passe à linfini, le théorème devient évident.

Quand deux coniques ont un double contact, toute corde de l'une qui est tangente à l'autre est divisée hctrmoniquement par le point de contact et j)ar le point où elle rencontre la corde de contact des deux coniques. Car, en projetant les deux coniques suivant deux cercles concentriques, on transforme cette proposition dans la suivante, qui est évidente : Toute corde d^un cercle tangente à un cercle concentrique a son milieu au point de contact.

Si deux côtés d'un triangle inscrit à une conique passent chacun par un point fixcy le troisième côté enveloppe une co/nque qui a un double contact avec la première sur la droite qui joint les deux points fixes. Cd^r, en projetant la conique suivant un cercle de telle sorte que les deux points fixes passent à l'infini, on retombe sur ce théorème : Si deux côtés dun triangle inscrit dans un cercle sont parallèles à deux droites données, le troisième côté enveloppe un cercle concentrique, ce qui est évident, puisque l'angle au sommet du triangle est constant.

On voit immédiatement que le lieu des centres des cercles qui passent par un point ^xe et qui touchent une droite fixe est une parabole dont le point fixe est le forer. En transformant par projection ce théorème, et remarquant que le point fixe ou foyer et les deux points cycliques forment un triangle circonscrit à la parabole, on obtient la proposition suivante : Etant donnés un triangle et une droite, si l'on conçoit toutes les coniques circonscrites à ce triangle et tangentes à cette droite, le lieu des points de concours des tangentes à deux des sommets du triangle est une conique inscrite dans ce triangle.

Nous avons démontré (l'104) que le cercle circonscrit à tout triangle iornié par trois tangentes à la parabole passe par le foyer : en remarquant que le foyer et les deux point.s cycliques forment un second triangle circonscrit à la parabole, et, transformant par projection, on arrive à ce théorème : Si deu.v triangles so/it circonscrits à une conique, leurs six sommets sont situés sur une conique.

P.. Pl nr. C. — Tr. de Géom ( II' Partie). 29

45o GÊOMÉTIUE DANS l'eSPACE.

118j. La solution générale du problème de la transformation des relations angulaires est due à M. Laguerre [Nouvelles Annales, i853). Elle repose sur le principe suivant :

Le rapport anharmoniqiie

, , sin//oo- sin//o/(

sinwg- sinco/i

du faisceau formé par les côtés d'un angle uov = Q et parles droites qui

joignent son sommet aux points cf cliques g et h du plan est égal à

g29v^ En effet, m étant un point d'un cercle ayant o pour centre et R

pour rayon, on a, en menant mp parallèle à ov jusqu'à sa rencontre

avec ou,

— ' — ' , , , smuom pm

op -^ pm -^ 2op.pm cosfJ = K et -^ = — - — j

' ' smcow op

d'où, en désignant par z ce rapport de sinus,

Z^ — 2ZC0SÔH-I= :,•

op

Or, si m est l'un des points g ou //, op est infini, et l'on voit que le rapport anharmonique a bien la valeur énoncée, puisqu'il est égal au quotient des racines de l'équation

Z^ — 2Z cosO -f- I = 0.

Cela posé, soit uoi> = 0 un angle quelconque, UOV sa projection, G et H les projections des points cycliques g et h du plan «oc; en désignant par p et nommant rapport anharmonique relatif à l'angle UOV le rapport (i), dans lequel on remplace chaque lettre par la lettre majuscule correspondante, on a, en vertu de la projeclivité du rapport anharmonique,

e^6V~ = p^ d'où 9 =r L=- logp.

Telle est la relation entre un angle et sa projection. Donc enfin, à une relation quelconque

entre les angles 9,, . . . , 9„ d'une figure répond, entre les angles 6', , . . . , 6jj delà figure projection, la relation

/( /— '"SP" / — 'ogP2» •••) ! logo J = o,

OÙ pj désigne le rapport anharmonique relatif à l'angle 9'/..

Remarquons que, dans le cas particulier de ô = - j ona p = e^-^-' = — i;

donc, à tout angle droit d'une figure répond, dans la figure projection.