PÔLE ET PLAN POLAIRE

Ii9i. On nomme surface; du second ordre les surfaces dont toute section plane est une conique réelle ou imaginaire; d'où il suit qu'une droite quelcon(iue a, avec une telle surface, deux points communs réels ou imaginaires, à moins qu'elle n'appartienne tout entière à la surface.

Si, par un point (juelcofKiue p de l'espace, on mène une droite quelconque L, et si l'on prend sur cette droite le conjugué harmonique p' de p par rapport aux deux points m et m' communs à la droite L et à une surface du second ordre 1,1e lieu des points p\ quand L se déplace autour de p, est un plan Jixe zs.

Observons d'abord que, si l'on mène deux plans quelconques par />», et si l'on prend les polaires de p par rapport aux deux coniques que ces plans déterminent sur la surface -, ces deux polaires ont un |)oiiit commun : c'est le conjugué harmonique de p qui est situé sur l'intersection des deux plans. Cela posé, concevons par le point />> deux plans lixe.«; a et ^ arbitraires et un pian quelconque '/contenant la droite L; soient A, B, C les polaires de p par rapport aux coniques que les plans «,^,7, déterminent sur la surface ï:. Le point p' est situé sur C ; d'ailleurs, d'après l'observation ci-dessus, la droite C rencontre les droites fixes A et B qui se rencontrent elles-mêmes. Donc le point /j'est constamment situé dans le plan fixe w des deux droites A et B.

Le plan ct est dit le plan polaire du point p^ et le point p est dit le pôle du plan w, par rapport à la surface 1.

Le plan polaire d'un point de la surface S est le plcai taui^cnt en ce poi'it, puisijue ce plan langent contient toutes les tangentes en p aux sections faites parce point, c'est-à-dire toutes les polaires de p par n.'.p-

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port à ces sections; inversement, tout plan tangent a pour pôle son point de contact.

Lu courbe de contact de tout cône circonscrit à la surface 1 est la conique suivant laquelle le plan polaire ot du sommet p coupe la surface ; si cette conique est réelle, le point p est dit extérieur à la surface; si elle est imaginaire, le cône cesse d'exister, et le point p est dit intérieur. — Par une droite donnée, on ne peut donc mener que deux plans tangents à une surface du second ordre S ; car les plans tangents qu'on peut mener à une surface par une droite donnée sont les plans tangents menés par cette droite au cône qui a pour sommet un point quelconque de cette droite, et qui est circonscrit à la surface. — Il résulte de là que les surfaces du second ordre sont de la deuxième classe, en entendant par classe d'une surface le nombre des plans tangents qu'on peut mener à cette surface ^ar une droite.

1195. Le plan polaire de tout point d^un plan passe par le pôle de ce plan, et, réciproquement, le pôle de tout plan passant par un point est sur le plan polaire de ce point. Par suite, les plans polaires de tous les points d'une droite L passent par une droite L', et, inversement, les pôles de tous les plans passant par une droite L' sont sur une droite L. Deux droites L et L', telles que l'une contient les pôles des plans passant par l'autre, sont dites conjuguées. A toute droite L répond une droite conjuguée L', et une seule; on l'obtient en joignant les pôles de deux plans menés à volonté par L, et en particulier en joignant les points de contact des plans tangents conduits par L.

Le pôle d'une droite L par rapport à la section faite dans la surface par un plan a contenant la droite L coïncide avec le pôle par rapport à la surface du plan que déterminent la droite L et le pôle a du plan «; il appartient donc à la conjuguée L' de L. Donc, si Von coupe une surface du second ordre "i par une série de plans contenant une même droite L, les pôles de cette droite L par rapport aux diverses sections sont sur une droite L' qui contient encore les pôles de tous ces plans sécants par rapport à la surface et, en particulier, les points de contact des deux plans tangents conduits par la droite primitive L.

Lorsque quatre points sont en ligne droite, leurs plans polaires forment un faisceau dont le rapport ardiarmonique est égal à celui des quatre points.

Lorsque quatre droites concourantes sont situées dans un même plan, leurs conjuguées jormenî un faisceau plan qui a même rapport anharmonique que le faisceau primitif.

1196. Deux points sont dits conjugués par rapporta une surface du second ordre, lorsque le plan polaire de l'un passe par l'autre. Plusieurs

LIVKE VIII. — LES StnFACES USUELLES. 4%)

couples de points conjugués sur une même droite forment une involution, dont les points doubles sont les points communs à la droite et à la surface.

Deux plans sont dits conjugués par rapport à une surface du second ordre lorsque le pôle de l'un est situé sur l'autre. Plusieurs couples de plans conjugués passant par une même droite forment un faisceau de plans en involution (c'est-à-dire un faisceau que toute transversale coupe suivant une suite de points en involution) : les plans doubles sont les deux pians tangents menés par la droite; il suit de là que, par une droite quelconque, on peut toujours mener deux plans conjugués rectangulaires.

Une droite et un plan sont dits conjugués par rapport à une surface du second ordre lorsque la droite passe par le pôle du plan. Quand un plan et une droite sont conjugués, le plan contient évidemment la conjuguée de ia droite.

Tout point p de l'espace est le sonnnct d'une injiinté d'angles trièdns dont chaque arête est conjuguée à la face opposée ; car il suffit, pour avoir un tel trièdre, de joindre le point p à trois points a, b, c, choisis dans le plan polaire c de p, de façon que chaque sommet du triangle abc soit le pôle du côté opposé par rapport à la coniijue que le plan is détermine sur la surface. Un tel trièdre prend le nom de trièclre polaire.