LIVRE Mil. — LES COUItBES USUELLES
l'un passe par p et touche en A la droite Af et dont l'outre passe par '( et touclie en A la droite A^.
La directrice A est la diagonale ne passant pas par A, du parallélogramme formé en menant par A et jî des perpendiculaires à A y et par A et y des perpendiculaires à A p. D'ailleurs, dès qu'on a le fo\ er F, la direcliicc A s'ensuit, puisqu'elle doit contenir les symétriques de F par rapport aux deux tangentes données.
4193. Construire une hyperbole équilatère dont on donne quatre points.
La solution est fondée sur la proposition suivante {fîg. 6o5) :
Quand un triangle ABC est inscrit dans une hypcrbo'e équilatère, le point de concours H des hauteurs est situé sur l'hyperbole et le cercle des neuf points passe par le centre lo de la courbe.
En effet, soit D le second point d'intersection de l'iiyperbolo et de la iiauteur issue du point C; la première partie de l'énoncé revient à dire que le point D n'est autre que H. Or, menons AF parallèle â l'une des asymptotes et DE parallèle à l'autre; désignons d'ailleurs par K le point
Fi?. 6d5.
commun à AF et à CD et par I le point commun à DE et à AB. Le théorème de Pascal, appliqué à l'hexagono ABCDEF dont les derniers sommets sont à l'infini, montre que IK est parallèle à BC ; mais AI) csi perpendiculaire à IK, puisque 1 est le point de concours des liauicurs du triangle ADK; donc AD est perpendiculaire à BC, et le point D ne diffère pas du point de concours II des hauteurs du triangle ABC,
Considérons la deuxième partie de l'énoncé {Jlg. 606); soient Ai, B,, Cl les milieux des côtés du triangle ABC; désignons par P et Q les projections de B et C sur la parallèle menée par A à l'une des asymptotes de l'hyperbole, de sorte que les projetantes BP, CQ sont parallèles à l'autre asymptote; enfin soient A' et C les points où A(> coupe
R. et DF. C. — Tr. (le Géom. (Il' Parliez. 3o
GÉOMÉTRIE DAi\S l'kSPACE.
les asymptotes. Le point Bj sera, d'après la propriété des sécantes de l'hyperbole, à la fois le milieu de AC et celui de A'C; ce sera donc le centre d'homothétie des deux triangles à côtés parallèles ACQ, A'wC; donc tùBi passe par Q et, de même, wCi passe par P. Cela posé, il
Fiiî. Co6.
est aisé de voir que les angles sous lesquels on voit du point A et du point o) la droite BiCi sont égaux ou supplémentaires (ils sont supplémentaires sur notre figure où w et A sont placés du même côté de BiCi); donc les angles sous lesquels on voit BiCj du point Ai et du point w sont aussi égaux ou supplémentaires et, par suite, le point w appartient à la circonférence de cercle passant par Ai, Bi, Ci.
Chacune des deux parties du théorème précédent fournit un mode do solution du problème qui consiste à construire une hyperbole passant par quatre points donnés A, B, C, D.
D'après la première partie, on construira le point de concours H des hauteurs de l'un quelconque des quatre triangles ayant pour sommets trois des points donnés, et l'on sera ainsi ramené à la construction d'une conique dent on connaî', cinq points A, B, C, D, H. Le problème a une infinité de solutions, si l'un des quatre points donnes est le point de rencontre des hauteurs du triangle formé par les trois autres.
D'après la seconde partie, on déterminera le point commun aux cercics
LIVIIE VIII. — LES SURFACES USLELLES. 4^7
des neuf points relatifs aux quatre triangles que Ion peut former avec les points donnés. Ce point co sera le centre de l'hyperbole dont on obtiendra un cinquième point, en prenant le symétrique par rapport au centre de l'un des points donnés. H y a indétermination dans le cas déjà cité, les quatre cercles des neuf points coïncidant.
Il est d'ailleurs facile de trouver les asymptotes de iliypcrbole; du milieu Bi de AG comme centre, avec un rayon égal àBiio, on décrira un cercle qui coupera AC aux points A' et C où les asymptotes rencontrent ce côte.
