LIVRE VIII. — LES SURFACES USL'ELLES. ^-J l

les mêmes positions que dans le jîremier, il faudrait, si l'on excluait la considération du cercle imaginaire, employer dans les deux cas des énoncés différents, qu'aucun lien apparent ne rattacherait l'un à l'autre, tandis que l'emploi du cercle imaginaire permet de n'avoir qu'un théorème et d'exprimer la propriété dont il s'agit d'une manière plus saisissante et qui fait image.

Voici un exemple très-simple qui fera bien comprendre notre idée : On sait que la polaire P d'un point p par rapport à ua cercle de centre o est la droite menée perpendiculairement au diamètre op par le point p' de ce diamètre que détermine la relation

(I) op.np'^r\

et l'on a démontré que les polaires des divers points d'une droite L passent par un même point. Dans cette définition de la polaire, aussi bien que dans la démonstration du théorème cité, le cercle n'a aucune part, et l'on ne fait intervenir en somme que les points o et p et la quantité i'. La proposition subsiste donc dans le cas où r^ est négatif; seulement, alors, il n'y a en réalité plus de cercle; la droite P, toujours définie par la relation (i), n'est plus, par rapport au point o, du même côté que le point ^, et le théorème prend la forme suivante : Si, par les divers points p cVunc droite L, on mène a un point fixe o des rayons po sur lesquels on marque des points p' déterminés par la relation (i), les perpendiculaires éle^ vées par ces points p' sur les rayons correspondants passeront par un point fixe. On voit combien cet énoncé est lourd, et combien il est à la fois plus simple et plus clair d'exprimer le même fait en conservant l'énoncé primitif, à la condilion de dire que le cercle est alors imaginaire et de donner à la droite P le nom de pnUdn; du point p par rapport à ce cercle imagincnre. Bien que se rapportant àun cercle imaginaire, la proposition n'en aura pas moins une signification parfaitement précise et portant en définitive sur des choses réelles.

La formule (i) est susceptible d'une interprétation géométrique fort utile.

Supposons r^ négatif, et soit r'^ sa valeur absolue. Menons par o une droite perpendiculaire au plan et égale à /•'; ^ étant l'extrémité de celte perpendiculaire, on aura

ce qui prouve que l'angle psp' est droit. On a donc ce théorème :

Si, par le centre o d'un cercle imaginaire, on mène une droite os perpendiculaire au jjlan du cercle et égale à son rayon supposé réel, la droite qui Joint le point s à un point quelconque p du plan du renie est perpendiculaire au plan qui pafse par le point s et par la polaire P du point p par rapport au cercle nnaginaire.

4;^ GÉOMÉTKIE DANS l'eSPACE.

1201. Nous avons vu (lllll que tous les cercles d'un plan coupent la droite à l'infini de ce plan aux deux mêmes points imaginaires. On conclut de là que toutes les sphères coupent le plan à l'infini suivant un même cercle imaginaire qu'on nomme le cercle imaginaire h V infini. Soient, en effet, C et C les cercles déterminés par le plan à l'infini dans deux sphères quelconques 2 et 2'; pour prouver que ces cercles coïncident, il suffit de montrer que tout plan tt les coupe aux deux mêmes points. Or, le plan tt donne dans les deux sphères deux cercles A et A', qui coupent la droite de l'infini du plan tt aux deux points cycliques de ce plan ; ces deux points, appartenant au cercle A et au plan de l'infini, appartiennent au cercle C, et l'on voit de même qu'ils sont sur le cercle C

Lorsqiî une droite P et un point p sont pôle et polaire par rapport au cercle imaginaire à l^ infini, la droite qui joint un point qtielconcjue q de Vespace au point p est perpendiculaire au plan mené par ce point q et par la droite P. En effet, soient o le centre d'un cercle imaginaire, intersection d'une sphère fixe et d'un plan c, /;, le point où la droite qp perce le plan w, P, la polaire de p^ par rapport au cercle imaginaire, s l'extrémité d'une droite menée par o perpendiculairement au plan w et égale au rayon du cercle imaginaire supposé réel. La droite sp^ sera (1200) perpendiculaire au plan déterminé par s etP,, et cette perpendicularité subsistera lorsque le plan ts se déplacera en s'éloignant indéfiniment du centre de la sphère ; mais, à la limite, les droites qp^ ei sp, sont parallèles, et il en est de même des plans déterminés par la droite P, et par chacun des points s Gi p^. Donc la droite qp est perpendiculaire au plan de la droite P et du point q.

1202. Nous pouvons maintenant aborder la recherche des plans principaux et des sections circulaires dans les surfaces du second ordre.

Considérons une surface du second ordre 2 et la conique C réelle ou imaginaire suivant laquelle le plan à l'infini coupe cette surface. Le cercle imaginaire à l'infini C rencontre cette conique en quatre points imaginaires conjugués deux à deux, a et b, c et d. Les deux lignes C et C ont donc trois couples de cordes communes

[ab,cd), [ac,bd), [ad,bc),

dont le premier est seul réel, et un triangle aulopolaire commun pp'p" dont les trois sommets sont réels (1171 ).

Désignons par I le centre de la surface 2. La droite I/? est le diamètre conjugué du plan diamétral Ip'p" (1197); d'ailleurs cette droite et ce plan sont rectangulaires (1201 ) ; donc Ip est un axe et ]p'p" est le plan principal correspondant à cet axe. On prouverait de même que \p' et ]pp'\ Ip" et Ipp' jouissent de la même propriété, d'où résulte, pour les surfaces du second ordre, l'existence de trois plans principaux réels.

LIVIU: VIII. — LKS SURFACES tSLELLLS. \,0

Désignons par m un point quelconque de l'espace situé à dislance (inic, et considérons l'un des six plans déterminés par le point m et chacune des cordes communes, le plan mab par exemple. Ce plan détermine dans la surface ï une conique qui rencontre la conique C aux deux points n et b; par suite, cette conique est un cercle, attendu que les points n et b sont les points cycliques du plan mab. Donc, par un point (luelconque m de l'espace passent six plans mab, mcd, mac, ntbd, mnd^ mbc, donnant des sections circulaires, mais dont les deux premiers sont seuls réels. Les deux plans d'un même système mab et mn/, mac et mbd, mad et mbc, se coupent respectivement suivant les droites mp, mp\ mp", qui sont parallèles aux a\es ; ils sont donc respectivement perpendiculaires aux plans principaux \p'p", ^p"p, ^pp'-

On donne en particulier le nom de plans cycliques aux trois couples de plans \ab et Ici-/, lacel \bd, lad et \bc^ qui donnent des sections ciiculaires et qui passent respectivement par les axes \p, Ip', \p". On obtient toutes les sections circulaires de la surface en coupant cette surface par des plans parallèles aux six plans cycliques. Il y a donc six séries de sections circulaires; le lieu des centres de chaque série est le diamètre conjugué du plan cyclique auquel sont parallèles les plans de la série considérée, et l'on donne le nom d'ombilics aux points où chacun de ces diamètres rencontre la surface.

Les deux plans cycliques qui passent par un même axe ont pour plans bissecteurs les deux plans principaux qui contiennent cet axe. Ainsi, les plans cycliques Ir//;, Icr/, ont pour plans bissecteurs les plans principaux Ipp', \pp" ; cela résulte de ce que les cordes ab et cd divisent harmoniquemenl l'angle p'pp'\ de sorte que l'angle dièdre droit [\ab^ \cd) est divisé harmoniquement par les plans \pp' -, ^pp" '

Des trois couples de plans cycliques, un seul (1^6, \cd] est réel ; il n'y a donc que deux séries réelles de sections circulaires et, par suite, que quatre ombilics réels.

CÔNES DU SECOxND ORDRE ET CONIQUES SPIIÉRIQUES.

1203. Dans lecône, le plan polaire rs de tout point /; de l'espace contient le sommet s^ et si le point p se déplace sur />.v, le plan polaire w ne change pas ; aussi convient-il de donner à ce plan a le nom de plan polaire de la droite psel, à cette droite, le nom de polaire du plan cr. Si la droite ps tour/te autour du sommet s dans un plan, son plan polaire c tourne autour de la polaire de ce plan ; cela résulte de ce que les traces de/w et de ct sur un plan quelconque sont constamment pôle et polaire par rapport à la conique que ce plan détermine dans le cône.

Tout plan qui ne passe pas par le sommet a ce sommet pour pôle ; le sommet est donc le pôle du plan de liaûni, c'est-à-dire le centre de la

474 GÉOMÉTRIE nAXS l'eSPACE.

surface. Désormais, quand nous parlerons de droites et de plans conjugués par rapport à un cône du second ordre, nous entendrons toujours qu'il s'agit de plans et de droites passant par le sommet. Ainsi nous dirons que : 1° une droite et un plan sont conjugués par rapport au cône lorsqu'ils passent par le sommet et que la droite est la polaire du plan ; 2° deux plans sont conjugués par rapport au cône quand ils passent par le sommet et que chacun d'eux contient la polaire de l'autre; 3° deux droites sont conjuguées par rapport au cône quand elles passent par le sommet et que chacune d'elles est située dans le plan polaire de l'autre.

Quand deux plans ou deux droites sont conjuguées, leurs traces sur un plan quelconque sont conjuguées par rapport à la conique que ce plan détermine dans le cône.

Quand un cône est circonscrit à une surface du second ordre, les droites et les plans conjugués par rapport au cône sont aussi conjugués par rapport à la surface ; car, d'abord, leurs traces sur le plan de la conique de contact sont conjuguées par rapport à cette conique, et, de plus, ce plan est le plan polaire du sommet du cône par rapport à la surface.

Les sections cVun cône du second ordre par des plans parallèles sont semblables (1199), et le lieu des centres est la polaire du plan a mené par le sommet du cône parallèlement aux plans sécants. Ces sections sont des ellipses, des paraboles ou des hyperboles, suivant que le plana ne contient pas de génératrices, en renferme une seule ou en contient deux.

Une droite passant par le sommet d'un cône du second ordre est dite intérieure ou extérieure au cône, suivant que sa trace sur un plan quelconque qui ne passe pas par le sommet est intérieure ou extérieure à la conique que ce plan détermine dans le cône. Un point de l'espace est dit intérieur ou extérieur au cône, suivant que la droite qui unit ce point au sommet est elle-même intérieure ou extérieure.

1204. Le sommet d'un cône du second ordre est le sommet d'une infinité de trièdres polaires (H96), c'est-à-dire de Irièdres tels que chaque arête est la polaire de la face opposée. Les trois arêtes forment un système de trois diamètres conjugués ; l'un de ces diamètres est intérieur au cône et les deux autres sont extérieurs; cela résulte de ce que la trace du trièdre sur un plan quelconque est un triangle polaire par rapport à la conique section du cône par ce plan, et un tel triangle a toujours un sommet intérieur et deux sommets extérieurs à la conique.

L'un de ces trièdres polaires est trirectangle ; ses arêtes sont les trois axes du cône; l'un est intérieur et les deux autres sont extérieurs.

Tout plan perpendiculaire à l'un des axes détermine dans le cône une conique qui a soncentre sur cet axe et ses axes parallèles aux deuxautres axes du cône. Tout plan perpendiculaire à l'axe ialérieur du cône donne