LIVRE Vllf. — LES SURFACES USUELLES. i

une ellipse, et tout plan perpendiculaire à l'un des deux aui.res axes donne une hyperbole dont les asymptotes sont parallèles aux deux génératrices du cône parallèles au plan sécant. On nomme nxr principal du cône l'axe intérieur; grand axe celui qui est parallèle au grand axe de i'ellipse suivant laquelle le cône est coupé par un [)lan normal à l'axe principal ; petit aie celui qui est parallèle au petit axe de la même ellipse ; on appelle plan de la grande section le plan de l'axe principal et du grand axe ; plan de la petite section le plan de l'axe principal et du petit axe ; plan principal \e plan du grand et du petit axe. Le plan principal ne coupe le cône suivant aucune arête; de tous les plans conduits par l'axe principal, le plan de la grande section et le plan de la petite section sont ceux qui coupent le cône suivant les deux arêtes qui font entre elles respectivement l'angle maximum et l'angle minimum. Les plans tangents au cône menés par le grand axe le touchent suivant les deux arêtes contenues dans le plan de la petite section ; les plans tangents conduits par le petit axe touchent le cône suivant les deux arêtes contenues dans le plan de la grande section ; enfin, par l'axe principal, on ne peut mei.er aucun plan tangent au cône.

Le cône est de révolution quand la section par un plan perpendiculaire à l'axe intérieur est un cercle.

1203. Il résulte de ce qui i été dit au n° 1202, sur les sections circulaires des surfaces du second ordre, que tout cône du second ordre admet deux plans cycliques réels passant par l'un des axes et également inclinés sur les plans principaux qui contiennent cet axe. Tout cône du second ordre, admettant, d'après cela, deux séries de sections circulaires, peut être considéré de deux manières comme un cône à base circulaire. Les propriétés des sections circulaires des cônes du second ordre ont déjà été étudiées aux n"' 873,. . ., 880. Ajoutons seulement ici que les deux plans cycliques passent, comme on le reconnaît immédiatement, par le grand axe et, par suite, sont perpendiculaires au plan de la petite section.

1206. Si par le sonuiiel d'un cône du second ordre on mène des droites perpendiculaires à tous les plans tangents, on obtient un second cône de même sommet et qui est dit supplémentaire du premier. Le cône supplémentaire d'un cône du second ordre est aussi du second ordre ; en d'autres termes, tout plan mené par le sommet ne peut le couper que suivantdeux arêtes; car, si un tel plan le coupait suivant trois arêtes, ces arêtes seraient normales à trois plans tangents au cône proposé, lesrpiels plans passeraient par une même droite per[)endiculaire au plan des trois arêtes, ce qui est absurde, puisque par une droite on ne peut mener que deux plans tangents à un cône du second ordre. .SV un cane 1' est supplémentaire d'un cône i du second ordre , inversement lest supplémentaire de -'. En eflet,

^~6 (iÉOMÉTRii: i)A>s l'espace.

deux arêtes infiniment voisines du cône 2' sont perpendiculaires à deux plans tangents au cône 2 infininnent voisins ; le pian de ces deuxarcles est donc perpendiculaire à l'inlersection de ces deux plans tangents ; en d'au- Ires termes, les plans tangents à 2' sont perpendiculaires aux arêtes de 2.

On aperçoit immédiatement que : \° à une arête de 2 et aiiplan tangent conduit par cette arête, j-é pondent dans 2' un plan tangent et son arête de contact ; 2° à une droite et à son plan pothire par rapport a 2, répondent un plan et sa polaire par rapport a I' \ 3° « deux droites conjuguées de 2, lé pondent deux plans conjugués de 2' ; 4° à deux droites menées arbitrairement par le sommet de 2, répondent dans 2' deux plans j'aisant entre eux un angle supplémentaire de celui des deux droites; 5° aux trois axes de 2, répondent les trois plans diamétraux conjugués rectangulaires de 2'; à l'axe principal de 2, répond le plan principal de 2', et les deux cônes ont même axe principal et même plan principal ; mais le plan de la grande section de l'un est le plan de la petite section de l'autre, de sorte que le grand axe de l'un est le petit axe de l'autre.

Il résulte de là que les propriétés des cônes du second degré sont doubles, comme celles des trièdres et des triangles sphériques.

1207. Dans tout cône du second ordre, on nomme focales les deux droites menées par le sommet perpendiculairement aux plans cycliques du cône supplémentaire; ces deux droites sont donc situées dans le plan de la {)etite section du cône supplémentaire, et par conséquent dans le plan de la grande section du cône considéré.

Tout plan rs perpendiculaire à une focale F coupe le cône suivant une conique rpd a pour foyer le pied f de cette droite. Il suffit, pour établir ce théorème, de prouver que tout couple de droites conjuguées par rapport à la conique et passant par/ est rectangulaire. Or, deux droites conjuguées du cône supplémentaire, comprises dans un plan cyclique de ce cône, sont rectangulaires, puisqu'elles sont parallèles à deux diamètres conjugués de la section circulaire faite par un plan parallèle à ce plan cyclique; donc deux plans conjuguésdu cône primitif, menés par la focale F qui est perpendiculaire à ce plan cyclique, sont aussi rectangulaires. Le plan tt coupe donc le cône suivant une conique, et les deux plans conjugués suivant deux droites rectangulaires telles, que le pôle de l'une par rapport à cette conique soit sur l'autre.

Puisque dans deux cônes supplémentaires les droites focales de l'un répondent aux plans cycliques de Vautre, à chaque propriété des focales répondra, par la considération du cône supplémentaire, une propriété des plans cycliques, et inversement. Indiquons les plus importantes de ces propriétés.

1208. Nous savons que la polaire d'un plan cyclique est le diamètre, lieu