LIVRE VIII. — LES SURFACES USUELLES

égal au rapport anharmonique des quatre plans homologues de l'autre faisceau, etc.

La surface réglée, lieu des intersections des plans homologues de deux faisceaux hnmographiqucs, est du second ordre; car, si on la coupe par un plan quelconque c, les deux faisceaux de plans coupent ce plan vs suivant deux faisceaux de droites qui sont homographiques, et la section de la surface par ce plan ct est le lieu des intersections des rayons homologues de ces deux faisceaux de droites, c'est-à-dire (11.31 ) une conique. Il existe donc des surfaces réglées du second ordre.

1212, Réciproquement, toute surface réglée du second ordre peut être considérée comme le lieu des intersections des plans homologues de deux faisceaux de plans homographicpies. Nous décomposerons la démonstration en plusieurs parties, et elle nous permettra de mettre en évidence les principales propriétés de ces surfaces réglées.

1° Trois droites A, B, C, appartenant h la surface, ne peuvent passer par un même point o, à moins que toutes les droites de la surface ne passent par ce point. Car, toute autre droite D de la surface, ne passant pas par le sommet o du trièdre formé par A, B, C, aurait au moins avec l'une des faces de ce Irièdre un point commun non situé sur les arêtes; par suite, le plan de cette face aurait en commun avec la surface deux arêtes du trièdre et de plus un point extérieur à ces arêtes, de sorte que le degré de la section serait supérieur au second. Les surfaces réglées du second ordre se partagent donc en deux groupes : l'un relatif aux surfaces dont toutes les génératrices passent par un même point, l'autre relatif aux surfaces dont trois droites ne passent jamais par un même point. Les surfaces du premier groupe sont les cônes et, en particulier, les cylindres, lorsque le point de concours de toutes les génératrices est à l'infini. Les cônes du second degré jouissent évidemment de la propriété énoncée, car tonte section faite par un plan ne contenant pas le sommet est une conique qui peut être considérée comme le lieu des intersections des rayons homologues de deux faisceaux homographiques; les plans détermmés par les génératrices fixes qui aboutissent aux centres de ces deux faisceaux et par la génératrice variable qui aboutit à un point quelconque de la conique sont donc homogra|ihi(|ues. Nous n'avons par conséquent à considérer que les surfaces réglées proprement r//7e.v, c'est-à-dire celles dont trois droites ne passent jamais par un même point.

2° Soit G l'une des génératrices de la surface. Tout plan passant par G donne dans la surface une conique qui se compose nécessairement de la droite G et d'une autre droite. Si l'on coupe la surface par une série de plans y,'/,/", • • • , passant par G, on obtiendra donc une série de druites L,L',L", . . ., qui formeront un système de génératrices rectilignes. Toutes ces droites rencontrent G en des points différents, sans quoi, par un même

K. Pt Dr C. — Tr. de Céoin. fil' Pnrtie). . 3l

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point, passeraient trois droites de la surface; par suite, deux quelconques des génératrices L,L',L", ..., ne sont jamais dans un même plan. Actuellement, par l'une L de ces droites, menons une série de plans)., ).', /", . . .; nous obtiendrons une nouvelle série de droites G, G', G", . . . , doiil G fera évidemment partie et qui formeront un second système de génératrices rectilignes; on verra, comme ci-dessus, que deux quelconques de ces génératrices ne sauraient être dans un même plan. Donc, en résumé. In surface admet deux systèmes (G) et (L) de génératrices rectilignes ; par un point quelconque m de la surface passe une génératrice de chaque système (ces deux génératrices sont fournies par les plans menés par m et chacune des deux droites fixes G et L) ; fe plan de ces deux généra'trices est le plan tangent en m à la surface. Deux génératrices d'un même système ne sont jamais dans un même plan ; une génératrice quelconque de Vun des systèmes rencontre toutes celles de l'autre système.

3° Puisque trois droites suffisent pour régler le mouvement d'une droite mobile assujettie à s'appuyer sur elles, et qu'une génératrice de l'un des systèmes doit rencontrer toutes celles de l'autre système, on voit que la surface peut être considérée comme engendrée par une droite qui rencontre sans cesse trois droites fixes L, L', L".

4° Sur l'une L de ces trois droites fixes, prenons une série de points a, h,c, d, ... ; par chacun de ces points et par les deux autres droites fixes L' et L" menons deux plans ; nous obtiendrons ainsi deux faisceaux de plans homographiques dont L' et L" seront les axes et tels, que les intersections des plans homologues rencontrent les trois directrices L, L', L", c'est-à-dire soient des génératrices de la surface. La surface est donc/e lieu des intersections des plans lioninlogues de deux faisceaux de plans homographiques, comme nous l'avons annoncé.

Nous avons vu (i°) que les cônes rentrent dapo celta définition ; ils répondent aux cas où les axes des deux faisceaux se rencontrent ; quand les axes sont parallèles, les cônes deviennent des cylindres.

1213. Voici encore d'autres propriétés importantes des surfaces réglées proprement dites du second ordre. \ /

Le faisceau de plans passant |)ar L" rencontre les deux auv!?és directrices L et L' et détermine sur elles deux divisions homographiques; les droites qui joignent les points homologues de ces deux divisions s'appuient à la fois sur L, L', L"; ce sont des génératrices de la surface. Donc toute Surface réglée du second ordre est le lieu des droites qui divisent homographiquement deux droites fi.ce s.

Tout plan passant par un point quelconque m de la surface, et qui nu contient aucune des deux génératrices G etL passant par ce point, coupe la surface suivant une conique qui passe par m et qui ne se réduit pas à