SURFACES DU SECOND ORDRE NON RÉGLÉES

1223. Il nous reste à étudier les surfaces non réglées du second ordre.

Tout plan tangent a à l'une quelconque de ces surfaces en un point a n'a en commun avec cette surface que le point (i\ car, s'il en avait un autre b, la droite ab serait commune au plan y. et au plan polaire jî de b\ elle serait donc sa propre polaire, et chacun de ses points étant à luimême son conjugué serait sur la surface. 11 y aurait donc sur la surface une droite ab^ et, par suite, il y en aurait une infinité.

Il suit de là que, si l'on mène de part et d'autre d'un plan tangent y. deux plans parallèles et infiniment voisins, un seul de ces deux plans rencontrera la surface. Il y a donc dans l'espace des plans qui ne rencontrent pas la surface, des plans qui la coupent, et des plans qui n'ont qu'un point commun avec elle; les pôles de ces plans sont pour les premiers intérieurs à la surface, pour les seconds extérieurs, et pour les derniers situés sur la surface.

On classe les surfaces non réglées du second ordre par la considération du plan tangent à l'infini. Ce plan peut être extérieur à la surface, la loucher ou la couper suivant une conique qui diffère de deux droites. De là, trois surfaces distinctes auxquelles on donne les noms suivants :

n'ayant aucun point à l'in-/ ,,.

i ; . ^ Ellipsoïde.

\ tini »....'

Surfaces du secoiidl , - , ■

, , ,, itanijenle au plan de I m-/

ordre sur lesquellcsj . . ^ Paraboloïde cllipii<jiie.

on ne pout placer, ■• •• ■■• .......

■^i . Icoupee parleplan de I inlini,

aucune droite. I . i. / ,, ,,-,.,

y suivant une conique ordi-^ Ujperboluidc u dciix nappa.

naire ;

Nous allons décrire euccessiveraent ces trois surlaces.