PARABOLOÏDE II Y P E II BOL I QUE

1219. Nous axons ai)[)elé paraboloïde /lyperbolique (/"g. 609) celle des deux surfaces réglées proprement dites du second ordre qui a une géné-

Fig. 609.

•ratrice de chaque système Gj et Lj d;ms le plan de l'infini. Celte surface est donc tangente ù ce plan de l'infini et. par suite, le pôle de ce plan, c'està-dire le centre de la surface, est à l'infini. L'un des plans principaux passe alors à l'infini ainsi que les deux axes qu'il contient, et il ne reste à distance finie qu'un seul axe et les deux pians principaux qui passent par cet axe, auquel tous les diamètres deviennent d'ailleurs parallèles.

r.ivuE v!ii. — r.RS surfaces usuelles. 'i8-

T'juI plan passant pur l'axe donne dans la surface utie conique symétrique par rapport à cet axe et clonl le second axe disparaît à rinlini: cette conique est donc une parahulc. Toutes ces paraboles ont leur sommet en un même point commun à l'axe et à la surface, qu'on nomme sommet de la surface.

Toute section par un plan 57 parcdlclc à Va te est une parabole égale à celle (pie détermine le plan cr' mené pcn- Vaxe parallèlement au plan proposé. En effet, d'abord la section par le phin a est une parabole, puisqu'elle est semblable à la section faite par le plan c'; puis ces deux paraboles sont égales, attendu que l'un des cônes qu'on peut mener par ces deux courbes (1210) dégénère en un cylindre dont ces courbes sont deux sections parallèles.

1220. Les sections par des plans non parallèles à l'axe sont des hyperboles, puisque ces plans coupent les génératrices G, et L^ situées à l'infini en deux points. Étudions spécialement les sections hyperboliques dont les plans sont normaux à l'axe. Désignons |)ar o le sommet, par nx la partie de l'axe située à droite de o et par ox' la partie de l'axe située à gauche. Le plan perpendiculaire à l'axe mené par le sommet r> est tangent à la surface, puisqu'il est conjugué à la direction ox\ il contient donc deux génératrices que nous nommerons og et 0/, et c'est à ces deux droites que se réduit ici la section hyperbolique. L'hyperbole obtenue en coupant par tout autre plan normal à l'axe doit donc avoir ses asymptotes parallèles à oo^et à fV; ces asymptotes sont donc les intersections du plan considéré et des deux plans fixes gnx, lox\ par suite, si l'on désigne par oy et oz la bissectrice de l'angle gol et celle de son supplément, les plans uox, l'iix, devront contenir les axes de toutes ces hyperboles, de sorte que ces plans sont les plans principaux ; ils coupent la surface suivant deux paraboles ayant même sommet o, et pour axe l'une ox, l'autre ox' ; car, si ces paraboles principales étaient tournées du même côté, par exemple toutes les deux à droite de o, les sections hyperboliques faites par des plans normaux à l'axe et à droite de o auraient quatre sommets réels, ce qui est absurde. Ainsi, en résumé, les hyperboles obtenues en coupant par des plans perpendiculaires à l'axe sont situées : à droite du sommet, dans l'un des angles formés par les plans gox, lox (et dans son opposé); et, à gauche du sommet, dans le supplément de cet angle (et dans son opposé).

1221. Tout plan parallèle à l'un des plans principaux coupant la surface suivant une parabole égale à celle que détermine ce plan princij)al, on voit que la surface peut être engendrée par l'une des paraboles principales glissant parallèlement h elle-même de façon (pie son sommet décrive l'antre parabole princip(de ; ce mode de génération est celui (\\n

488 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.

révèle le plus nettement la forme de la surface. Ajoutons quV« projection orthnannnle sur un plan principal, les génératrices enveloppent la parabole principale correspondante.

Soient/? et// les paramètres des paraboles principales BOB', COC; cherchons l'équation du paraboloïde, c'est-à-dire la relation entre les

Fif;. 6io,

constantes données pelp' et les coordonnées variables .r = 01, j = PM, z-IP, d'un point quelconque M de cette surface {fig. 6io ). La section faite par le plan mené par M parallèlement au plan xoy étant une parabole ICg égaleà la parabole BOB', on a, puisque M appartient à cette parabole/Cg',

y- = Q.p . CP = ip . Kl

et, puisque le point C appartient à la parabole COC,

2' = 2//. KO; on en déduit

•--î =2iKl-K0) = 201, P F c'est-à-dire

12"22. Le plan gox^ coupant la surface suivant une première génératrice og, doit la couper encore suivant une génératrice du système opposé; et cette seconde génératrice doit être à l'infmi, sans quoi l'axe ox rencontrerait la surface en deux points à dislance finie; c'est donc la génératrice L,. Or toute autre génératrice G du même système que 0|i^esl dans un même plan rs avecL,; les deux plans vs elgox ayant leur inter-

l.lMtK VIII. — I.KS SURFACES USUELLES. 4^9

section L, à l'infini sont parallèles; donc G est parallèle au plan ^«jr. Ainsi, toutes les génératrices d'un système sont parallèle'; au plan gox, et J'on verrait de môme que toutes les génératrices de l'autre système sont pantllèles au plan lox. Les deux plans fixes gnx^ lox, prennent le nom de plans directeurs de la surface. Il résulte du n" 1220 que les plans principaux divifcnt en deux parties égales les angles dièdres formés par les plans directeurs.

Toutes les génératrices d'un syslème étant parallèles à un même plan, ces droites divisent deux génératrices quelconques de l'autre système en parties proportionnelles, et la surface peut être considérée comme ^//^o'é'//dréc /)ar une droite mobile Jormant sur deux droites fixes deux divisions homographiques semblables. Cette propriété est très-utile dans les applications; on l'utilise aussi pour construire des modèles en fil de la surface.