SURFACES POLAIRES RÉCIPROQUES

1229. La méthode des polaires réciproques s'étend aisément aux figures de l'espace ; nous nous bornerons à quelques indications sur ce sujet [voir Poncelet, Traité des Propriétés projectives, t. II).

Deux surfaces sont dites polaires réciproques par rapport à une surface du second degré o-, lorsque chacune d'elles est le lieu des pôles des plans tangents à l'autre, les pôles étant pris relativement à la surface auxiliaire a.

Pour que cette définition ne soit pas contradictoire, il faut prouver que, si une surface -^ est le lieu des pôles des plans tangents d'une surfiice 'j>, réciproquement la surface <? sera le lieu des pôles des plans tan-

LIVIU; Mil. — LES SURFACES USUELLES. ^\)>

gents à la surface -y Or, soient //, p', u.", trois plans tangents à la surface «; m, m', m", leurs points de contact, et //, «', //', leurs pôles par rapport à t. [>e point commun aux trois plans p, p.', p", a pour polaire le plan /fn'n"; mais, quand /«'et m" tendent vers w, il en est de même du point commun aux plans p, u.', p", et alors, les points n' et //' tendant vers //, le plan nn'n" tend vers le plan tangent en n à la surface -^i. Donc le point /« de la surface ^ est le pôle du plan tangent en « à la surfaco •!/.

4230. Qiifind deux sur j aces sont polaires réciproques, la classe de Tune est égale au degré de l'autre. Car, si une droite quelconque A rencontre la surface o en /■ points, à ces /■ points répondent /- plans polaires passant par la droite B conjuguée (1196) de la droite A et tangents à la surface ■!/; et inversement, aux / plans menés par B tangentiellement à la surface i*, répondent / points communs à la surface 'f et à la droite A.

Il résulte de là que la surface polaire réciproque d' une surf ace du second degré est une surface du second degré, puisqu'une surface du second ordre est de seconde classe (H94).

12.31. Le plus souvent, surtout lorsqu'il s'agit de transformer des propriétés métriques, on prend une sphère pour surface auxiliaire. Alors le point n' de la surface ^ correspondant au point // de la surface 's (Jîg. 617) s'obtient en abaissantdu centre ode la splière une perpendiculaire np sur le plan tangent en « à la surface <? et en portant sur cette perpendiculaire une longueur on' telle qu'on ait

op. on' = /•',

r étant le rayon de la sphère. D'ailleurs, comme la polarité est réciproque, le plan tangent en n' à la surface L est à son tour perpendiculaire sur on et coupe cette droite en un point y>>, tel que

on.op^ := /•^

Il est évident, d'après cela, que, si l'on considère un ellipsoïde t ayant pour axes «, b, c, sa polaire réciproque par rapport à une sphère concentrique de rayon r est un autre ellipsoïde dont les axes sont dirigés suivant les même droites que ceux du premier et ont respectivement pour

r' /•* r' longueurs — ? -ri — abc

1232. Nous terminerons ce paragraphe par une remarque qui nous sera fcienlôt utile et qui se rattache à la théorie des pôles et des polaires.

Si, d'un point quelconque n d'un ellipsoïde, on (ihais.se un plan nsrpvr-pendiculaire sitr l'un des axes ox de celte surface, et si l'on désigne par

496 GÉOMÉTRIE DANS LliSPACE.

S le point où ce plan coupe In perpendiculaire op menée du centre o sur le plan put tangent en n, on a la relation

os .op z= a^,

a étant la longueur de C axe dirigé suivant ox (fig. 614).

En efiet, le plan nsr a pour pôle, par rapport à l'ellipsoïde, le point /

Fi(j. 6i5.

Fig. 6i'|.

OÙ le plan langent en n coupe l'axe ox] mais ce plan a le même pôle par rapport à l'ellipsoïde et par rapport à la sphère concentrique de rayoi\ a. Donc le plan pnt passant par t doit avoir son pôle par rapport à la sphère dans le plan nsr, et, comme ce pôle doit élresur op, il n'est autre que le point s, ce qui entraîne la relation ci-dessus.

SURFACES APSIDALES.

1233. Soient m (/îg. 6i5)un pomt quelconque d'une surface quelconque tp et 0 un point fixe pris arbitrairement dans l'espace. La sphère ayant o pour centre et cm pour rayon coupe la surface <o suivant une ligne A ; a étant le cône qui a pour sommet 0 et pour directrice A, on élève par le point o la perpendiculaire au plan qui touche lo cône a suivant la génératrice cm. Les points n et n' , où cette perpendiculaire rencontre la sphère, décrivent une surface J^, lorsque m se déplace sur la surface tp. La surface 4^ est, par définition, la surface apsidalc de <p par rapport au point 0.

Les deux points n cl n' de <{/ qui correspondent à un même point /// quelconque de cp, sont symétriques par rapport au point 0; toute surface apsidale '^ est donc une surface à centre.

Les points qui correspondent aux divers points de la ligne A appartiennent à une ligne sphérique B située sur <^\ le cône p ayant pour sommet 0 et pour directrice B est supplémentaire du cône a. Ou peut donc revenir de n ou n' au point m en effectuant en ordre inverse la construction qui a fourni ces deux points. Mais il ne faudrait pas conclure de là que 9 est l'apsidale de 4*, puisque toute surface apsidale est une surface à centre.