LIVRE VIII. — LES SURFACES USUELLES
Voici d'ailleurs un exemple fort simple :
On voit immédiatement que i'apsidale d'un plan P par rapport à un point 0 est le cylindre de révolution qui a pour rayon la dislance oco du point o au plan P et pour axe la droite indéfinie oio. Si roncherclio maintenant la surface apsidale de ce cylindre par rapport au même point 0, on trouve le plan P, son symétrique par rapport à o, et la splièro qui, ayant le point o pour centre, est inscrite dans le cylindre.
(M.VNNIIEIM.)
THÉORÈME
1 234. Les plans tangents p. et v aux points corrcspondanls ru et n de deux surjaces apsidales «p et -^ sont pcfpendiculaires au plan mon et perpendiculaires entre eux.
En effet, la tangente mX à la courbe sphérique A [fig. 6i3) est àangle droit sur le rayon om de la sphère; elle est aussi à angle droit sur la droite o//, puisque o« est perpendiculaire au plan y/«T; donc cette tangente est perpendiculaire au plan wo//,et, parsuite, il en est de même du plan \i. qui contient /«T.
On voit de même que le plan v est perpendiculaire au plan mon.
Il reste à montrer que les plans p. et v sont perpendiculaires entre eux, ou bien, puisqu'ils sont l'un et l'autre perpendiculaires au plan mon^ que leurs traces sur ce dernier plan sont rectangulaires. Or, soit '>it{fig. GiG)
Fig. 6iG.
Fie. 617.
'iY
un jtoint voisin de m sur la section de la surface 'o par le plan mon qui est pris ici pour plan de la figure; la droite /?w, sera à la limite la trace du plan p. Soit //, le point de la surface ^ qui répond à w, ; rabattons le triangle onn^ en onn^ sur le plan de la figure, par une rotation autour de on. Le plan «//, //^ esta la limite tangent suivant nn., au cône de révolution que décrit ////, en tournant autour de no\ il est donc perpendiculaire au plan de la figure, et, par suite, nn^ est à la limite la trace du plan V. Pour un motif analogue, la droite o/?, peut être consid'.''réL' coiuim> la projection orthogonale de on,; donc l'angle /«,o//j est droit comme
R. et DE C. — Tr. de Gdom. (li« Partie), 32
498 GÉOMÉTKIE DANS LESPACE.
étant la projection d'un angle droit miO/ii dont un côté o/«,<est dans le plan de projection. Il suit de là que le triangle no/i^ n'est autre que le triangle iiio/)i^ qui aurait tourné de 90 degrés autour du point o dans son plan; lesdroites /«///,, nn^, sont donc à la limite perpendiculaires l'une à l'autre.
Corollaires.
123o. 1° Les normales en m et n aux surfaces © et •!> sont contenues dans le plan mon et sont perpendiculaires entre elles.
2" Les perpendiculaires abaissées du point n sur les plans tangents y. et V sont contenues dans le plan mon, et leurs longueurs, c'est-à-dire les distances du point o aux plans y et v, sont égaies.
3° La section de la surface 'f par le plan moT [Jîg. 6i5) a pour tangente en m l'intersection du plan o/iiT et du plan -j.: cette intersection est donc, comme chacun de ces deux plans, perpendiculaire au plan mon et par suite à la droite om. Donc la droite om est une normale à cette section, et l'on peut donner des surfaces apsidales cette définition, que Mac-Cullag prend pour point de départ dans le tome XVII des Transactions of tlie Royal Irish Jcadcmie : La surface apsidale ^ d'une surlacc donnée o par rapport à un point o est le lieu des points obtenus en portant, à piutir de o, perpendiculairement à chaque plan passant par ce point, des longueurs égales aux normales abaissées du point o sur la section faite dans la surface © par le plan considéré.
THÉORÈME
1236. Si deux surfaces i et z sont polaires réciproques par rapport à une sphère de centre o , leurs apsidales "^ et o/', relatives au point o, sont polaires réciproques par rapport à la même sphère [fig. 617).
En effet, soient n et n' deux poinis homoloanes de s et de î', et m et m' les poinis correspondants de o et de '^'. Prenons pour plan de la figure le plan norï ^ et désignons par v, •/, p., y.', les plans tangents aux surfaces =, ;', '^, 'J , aux points //, //', w, m' . D'après le corollaire (2°), puisque on' est perpendiculaire au plan v, la droite ow est située dans le plan de la figure, et il en est de même de om' , puisque le plan •/ est perpendiculaire à on. D'ailleurs, si l'on abaisse np et mq perpendiculaires à on' et à o///, ces lignes seront les traces des plans v et p., et Ion aura non-seulement on' = ow', mais encore (même corollaire) op ~ oq. Donc la relation
op. on' = r',
où /■ eat le rayon de la sphère auxiliaire, équivaut à
oq.om = r',
