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nées positives , on imaginera que ce Irièdre soit fendu suivant l'axe des 7-, et que l'on ait rabattu la face zoy en zo)\ sur le plan des sj-, et la face .Tojen .rry-j sur le même plan des zx. Les trois faces étant ainsi appliquées sur le même plan, on pourra dessiner avec exactitude les trois couples de sections principales en se bornant au quart de chacune d'elles, comme on le voit sur la^.^. 6iS. Il suffit dès lors de ramener par la pensée les trois plans dans leur position pritnitive, de manière à reformer le tiiedre, pour acquérir une idée nette de la forme de la surface telle qu'on la voit en perspective dans \Afig. 619 ; on a ménagé dans cette figure une ouverture qui permet de voir la nappe intérieure. Quant à la /^. 620, elle représente le corps solide ou noyau qui serait recouvert par la nappe intérieure seule.

Fifj. 620.

THÉORÈME

1239, L(i <ij>lirrc qid jxissc par un point fjuricnnfjiic m de la surfarc et par la projection q du centre sur le plan tan^^ent en ce point, et qui a son centre sur l'un des axes, coupe le plan principal perpendiculaire à cet axe suivant le cercle principal correspondant.

Par exemple, la sphère qui passe par /// et 7 et qui a son centre sur l'axe oj: coupe le plan yoz suivant le cercle A. l

En effet, soient {Jif^. 621) n un point quelconque de l'ellipsoïde z,p la projection du centre o sur le plan tangent en n, et ns la trace sur le |)lan nop (qui est ici pris pour plan de la figure) du plan mené par n perpendiculairement à l'axe ox. Faisons tourner la figure de 90 degrés dans son plan autour du point o, de manière à l'amener en owyi,'^; m seia un point quelcomiue de la surface des ondes et 7 la projection du centre o sur le plan tangent en ce point. Quant à la droite w^^, nouvelle position do ns.

GÉOMÉTRin: DANS l'esPACE.

elle sera perpendiculaire à ns et, par suite, parallèle à la projection do l'axe ox sur le plan de la figure; on aura d'ailleurs (1232j og.oq = a}. Cela posé, imaginons le point c où l'axe ox coupe le plan mené perpendiculairement à la droite qm par son milieu / ; c sera le centre de la sphère considérée; soient*-/ sa projection sur le plan delà figure et h sa distance à ce plan. En désignant par p le rayon du cercle suivant lequel la sphère coupe le plan principal zot, on aura

p^ = cm — co = (A- -+- dvv ) — [li^ -t- dd^'] = dm — do ,

ou, en appelant k le point de rencontre de mg et de la droite /V/ qui est parallèle à oy,

p^ = dm — mh — \di -\- im ) — \ih -+- un ) = di — //.

= {de -h ik) [di — //.) = [dk -+- lik) dk = og (og -h gq) = og.oq,

c'est-à-dire, d'après la relation ci-dessus, p = a, ce qui prouve que le cercle d'intersection n'est autre que le cercle principal A.

FiiT. 621.

•1240, Ce théorème, qu'un géomètre anglais, M. Niven, a trouvé par l'analyse, etdont nous venons de donner une démonstration géométrique, fournit une nouvelle solution du problème du plan tangent et une explication simple des particularités de la surface.

Veut-on le plan langent en un point w? On considérera les trois sphères passant par le point m et par chacun des cercles principaux A, B, C; le second point commun à ces trois sphères sera le point 7, projection du centre o sur le plan langent cherché, qui, par suite, n'est autre que le plan mené par q à angle droit sur oq.

Inversement, un plan tangent étant donné, veut-on le point de contact? Parla projection q du centre o sur le plan donné, et par chacun des cercles principaux A, B, C, on mènera trois sphères, et le second point commun mue ces sphères sera le point de contact du plan tangent considéré.

1241. Revenons à la section de la surface par le plan zox, laquelle se compose du cercle B et de l'ellipse B' qui ont quatre points communs réels tels que ti, et quatre tangentes communes réelles, telles que viv

LIVIîK VIII. — LES SURFACES USUELLES. 5o3

i^fig. 6t8 ). Cherchons le plan tangent en u à la surface des ondes. La projection du centre o sur ce plan tangent doit être le second point commun aux trois sphères puissant par «et par chacun des cercles principauxA,D,C; mai?, comme le point u est sur le cercle B, la sphère correspondant à ce cercle est indéterminée, et l'on trouve pour la projection du centre su.» le plan tangent, non pas un point, mais un lieu qui est le cercle d'Intersection des sphères passant par « et par chacun des cercles A et C, et dont le plan est perpendiculaire au plan zox. Il en résulte que la surface admet au point u une iufinilé de plans tangents ayant pour envelopjjc un cône dont le sommet est au point u et dont les tangentes au cercle B et à l'ellipse B' sont deux génératrices o[)po5ées.

Considérons en second lieu la tangente commune rw. Le plan tt élevé par celte ligne perpendiculairement au plan zox est évidemment tangent à lii surface des ondes aux points c et iv. Il est facile de voir que le plan tt touche la surface tout le long du cercle décrit dans ce plan sur nv comme diamètre. En effet, le point de contact du plan ~ doit être le second point commun aux trois sphères passant par la projection c du centre o sur ce plan et par chacun des trois cercles principaux A, B, C; mais, le point v étant sur le cercle B, la sphère relative à ce cercle est indéterminée, et l'on trouve pour le point de contact, non pas un point unique, mai> un lieu qui est le cercle counnun aux deux S()lières déterminées pur l!^[ioint V et par chacun des cercles A etC; ce cercle, dont le plan est évidemment

Fi{j. 622.

perpendiculaire au plan zf)x, n'est autre que le cercle décrit dans le plan TT sur w comme diamètre.

Ainsi, la surface des ondes a quatre points conicjues et quatre cercles de contact. La /!•>. 6.>-2 représente la section de la surface par un plan passant par les (piatre points coniques (').

Cj m. iVfannheim a démontré les propriçtus principales de cette surface et

5o4 GÉOMÉTRIE DANS l'ESPACE.

1242. M. Darboux, qui a étudié {Comi>tcs rcmhis, t. XCII) la surface qu'on obtient quand les cercles A, B, C ont des positions quelconques dans l'espace, a déduit du théorème de .M. Niven le moyen de construire les points (et par suite les plans tangents) de la surface des ondes sans passer par la considération de l'ellipsoïde.

0 étant le centre de la surface des ondes et q le second point d'intersection des trois sphères passant respectivement par les cercles A, B, C et par un point quelconque m de la surface, l'angle 0(//h est droit; et il est clair que cette propriété constitue une définition de la surface; car, si m est un point quelconque de l'espace et «7 le second point commun aux sphères déterminées par m et par les cercles A, B, C, l'angle Oqm n'est plus droit.

Cela posé, prenons deux sphères quelconques passant l'une par le cercle A, l'autre par le cercle B, et cherchons les points de la surface qui sont situés sur le cercle 7 commun à ces deux sphères. 11 résulte inmiédiatement des propriétés des axes radicaux que toute sphère passant par le troisième cercle C coupera 7 en deux points p et u/, tels que la droite pf.' aille passer par un point fixe a situé sur la droite commune aux plans des cercles C et 7. Si le point /a appartient à la surface, il faudra que l'angle Ouu', c'est-à-dire l'angle Oaa, soit droit. Donc le |)oint u. sera sur la sphère admettant 0« pour diamètre. Cette construction donne deux points sur le cercle 7.