LIVRE VIII. — LES STJUFACES USUELLES. i\CC

ce qui prouve que les surfaces f ei '/ sont polaires réciproques par rapport à la sphère de centre o et de rayon r.

SURF.\CE UKS ONDES.

1237. Supposons qu'une suite d'ébranlements périodiques ait lieu en un point d'un milieu biréfringent : le mouvement vibratoire se propagera dans toutes les directions autour de ce point, et, au bout de l'unité de temps, le premier ébranlement sera parvenu sur une certaine surface que Fresnel a considérée le premier et à laquelle on donne le nom de surface des ondes.

Laissant complètement de côté le point de vue physique, nous allons ici étudier géométriquement cette surface intéressante et signaler les particularités curieuses qu'offre sa forme.

Nous partirons de la définition suivante :

La surface des ondes est la surface apsidale o d'un ellipsoïde $, par rapport au centre de cette dernière surface.

Le théorème du n° -1236 montre que la polaire réciprocjue de la surface des ondes » par rapport à une sphère concentrùfue a l'ellipsoïde e est encore une surface des ondes; c'est la surface apsidale <p' de leliipsoïde i', polaire réciproque de l'ellipsoïde primitifs.

Le théorème du n° 1234 permet de construire le plan tangent et la normale en un point quelconque de la surface des ondes.

Enfin, en combinant le théorème du n- 1236 et les corollaires du théorème du n- 1231, on voit que la surface des ondes y peut être déduite des ellipsoïdes i et ;' de la manière suivante :

1° 67, par le centre de V ellipsoïde i, on élève une perpendiculaire à chaque plan diamétral, et qu'on porte sur cette perpendiculaire, à partir du centre, des longueurs égales aux demi-axes de la section diamétrale considérée, le lieu des extrémités de ces longueurs est la surface m.

'j." Si, à chaque plan diamétral de r ellipsoïde e', on mène des plans parallèles à des distances de ce plan égales aux longueurs des demi-axes de la section dianiélrale considérée, la surface "5> est la surface tangente à tous ces plans.

1238. Étudions maintenant la forme de la surface en partant de la ])rcmière de ces deux définitions.

On voit d'abord immédiatement que la surface o admet le même centre o et les mêmes plans principaux xoy, )oz, zox, c'est-à-dire les mêmes plans de symétiie que l'ellipsoïde ;. Désignons par a, ù, r, les longueurs des trois axes de cet ellipsoïde qui sont dirigés respectivement suivant «x, oj^ oz: supposons a'^ by c, et cherchons les sections princi(>a!es de la

5oO GÉOMRTRIE DANS LKSI'ACi:.

surface des ondes, c'est-à-dire les sections de cette surface par les plans principaux xny, yoz, zox.

Pour qu'un point de la surface cp soit dans le plan xoy, il faut et il suffit que le plan diamétral correspondant soit perpendiculaire au plan xoy, c'est-à-dire passe par l'axe oz; mais chacune des sections diamétrales passant par oz a pour demi-axes le demi-axe mineur c de l'ellipsoïde et l'un des demi-diamètres de l'ellipse [ab). La section de la surface <f se compose donc du cercle qui a pour centre o et pour rayon c, et de l'ellipse {ob) qu'on aurait fait tourner de 90 degrés autour de son centre; d'ailleurs, le cercle est intérieur à l'ellipse, puisque son rayon c est inférieur à la fois aux deux demi-axes 6 et <? de l'ellipse ; nous désignerons le cercle par C et l'ellipse par C.

On voit d'une manière analogue que la section faite par le plan f^z se compose du cercle qui a pour centre n et pour rayon a, et de l'ellipse ( bc)

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qui aurait tourné de 90 degrés autour du point o\ ici, c'est l'ellipse qui est intérieure au cercle, puisque le rayon de ce cercle est plus grand que chacun des demi-axes de l'ellipse; nous désignerons ce cercle et cette ellipse respectivement par A et A'.

Enfin, le plan znx coupe la surface «y suivant le cercle ayant o pour centre et b pour rayon, et suivant l'ellipse \ca) qu'on aurait fait tourner de 90 degrés autour du point o. Ce cercle, que nous désignerons par B, et cette ellipse, que nous désignerons par B', se coupent en quatre points réels, puisque le rayon b du cercle a une valeur comprise entre les valeurs «et c des demi-axes de l'ellipse. Ces points reçoivent le nom à!ombilles de la surface des ondes.

D'après cela, pour se rendre compte de la forme de la surface, en se bornant, bien entendu, à la partie comprise dans le trièdre des coordon-

i.iviti: VIII.