AA' = PP' + OQ' + RR

091. Étant donnés les angles que deux droites ou deux plans forment respectivement avec trois axes ou trois plans rectangulaires, trouver l'angle de ces deux droites ou de ces deux plans,

692. Étant données les projections d'une droite ou d'une aire plane sur trois axes ou sur trois plans rectangulaires, trouver sa projection sur un quatrième axe ou un quatrième plan qui fait des angles connus avec les trois premiers.

693. La somme des carrés des projections d'autant de droites ou d'autant d'aires planes qu'on voudra sur trois axes ou sur trois plans rectangulaires quelconques est constante.

694. Trouver l'axe ou le plan sur lequel la somme des projections de droites ou d'aires planes données est un maximum. — Cette même somme est constante lorsqu'on projette sur des axes ou des plans faisant le même angle avec l'axe ou le plan sur lequel la projection est un maximum.

QUESTIONS PROPOSÉES. 5î7

G9"). Dans un polygone quelconque, la somme des projections de tous les côtés sur un axe quelconque est égale à zéro. — Dans tout polygone convexe, le carré d'un côté est égal à la somme des carrés de tous les autres, moins deux fois la somme des produits obtenus eu multipliant ces mômes côtés deux à deux et par le cosinus de l'angle qu'ils comprennent.

696. Dans un polyèdre convexe quelconque : i° la somme des projections de toutes les faces sur un plan quelconque est égale à zéro; 2" le carré de l'une des faces est égal à la somme des carrés de toutes les autres, moins deux fois la somme des produits obtenus en multipliant ces mêmes faces deux à deux ei par le cosinus du dièdre qu'elles comprennent.

697. Lorsque le volume d'un tronc de prisme et l'une des bases A restent fixes, le plan de l'autre base B passe par un point fixe, et l'aire de cette base B est minimum lorsque son plan est perpendiculaire aux arêtes du tronc.

698. De toutes les pyramides de n faces latérales, qui ont même hauteur et lies bases équivalentes, c'est la pyramide régulière qui a la plus petite aire latérale. — De toutes les pyramides dont la base a n côtés et dont les aires latérales sont équivalentes, c'est la pyramide régulière qui a le plus grand volume.

699. De tous les tétraèdres dont les aires sont équivalentes, le tétraèdre régulier a le plus grand volume.

700. La base d'un tétraèdre est semblable à un triangle donné; la somme de cette base et d'une face latérale est constante; enfin les deux autres faces sont perpendiculaires à la base : de tous les tétraèdres qui remplissent ces conditions, celui dont la base équivaut au quart do la somme donnée a le plus grand volume.

701. La base p d'une pyramide a n côtés et est semblable à un polygone donné; la somme ^ -i- a de cette base et d'une face latérale a est constante : le volume de la pyramide est maximum lorsque, a étant égal à 2 fi, la face latérale a est perpendiculaire à la base p.

702. Trouver : 1° le centre de gravité d'un arc de cercle; 2° le centre de gravité d'un secteur circulaire (on nomme centre de gravité d'une ligne courbe ou d'une aire terminée par une ligne cnurhe la limite des positions du centre de gravité du contour ou de l'aire d'une ligne polygonale inscrite ou d'un secteur polygonal inscrit).

703. Trouver le centre de gravité d'un tronc de pyramide à bases para llèk's.

704. L9 somme de trois faces latérales d'un tétraèdre étant donnée, son

volume est maximum lorsque ces faces latérales sont des triangles rectangles isocèles, perpendiculaires entre eux.

70o. Parmi toutes les pyramides limitées latéralement par les faces d'un angle polyèdre S et dont la base est déterminée par un plan qui passe par un point fixe P situé dans l'intérieur de l'angle S, celle dont le volume est maximum a le point P pour centre rte gravité de sa base.

706. 1° Parmi toutes les pyramides équivalentes limitées latéralement par les faces d'un même angle polyèdre, celle dont la hauteur passe par le centre de gravité de la base a la base minimum ;

2° De toutes les pyramides limitées latéralement par le même angle polyèdre et qui ont des bases équivalentes, la pyramide de volume maximum est celle dont le sommet se projette orthogonalement au centre de gravité de la base;

3" Enfin, de toutes les pyramides de même hauteur, limitées latéralement par le même angle polyèdre, la pyramide de volume minimum est celle dont la hauteur passe par le centre de gravité de la base.

707. Dans deux figures homologiques, le rapport des distances de deux points homologues quelconques m et m' au centre d'homologie est au rapport des distances de ces deux points m et m' à deux droites homologues D et D' quelconques dans une raison constante. — Que devient ce théorème : i" lorsque lune des droites D et D' est l'axe d'homologie? 1° lorsque la droite D est à l'infini ? 3° lorsque, la droite D étant à l'infini, la droite D' se confond avec la droite de la première figure qui correspond aux points de la seconde situés à l'infini?

708. Étant données deux droites parallèles dans le plan d'une figure, si d'un point fixe on mène un rayon à chaque point m de cette figure, et que sur ce rayon on prenne un point m' tel, que le produit des dislances des points m et m' aux deux parallèles soit constant, le point m' décrit une figure homologique à la proposée.

709. Quand deux figures sont homologiques, si l'on fait tourner l'une d'elles autour de l'axe d'homologie, de manière à faire coïncider de nouveau son plan avec celui de l'autre figure, les deux figures, dans leur nouvelle position relative, sont encore homologiques, mais leur centre d'homologie est différent.

710. Quand deux figures sont homologiques, si l'on fait tourner l'une d'elles dans son plan autour du centre d'homologie, après une rotation de i8o degrés, les deux figures sont encore homologiques, mais avec un axe d'homologie diflérent.

QUESTIONS PROPOSÉES. SsQ