LIVRE VII

LES CORPS RONDS

§§ I, II. — Cylindre et côue de révolution.

7H. 1° Quel est le rapport des volumes de deux cylindres dont les aires convexes sont équivalentes? 2° quel est le rapport des aires convexes de deux cylindres qui ont le même volume?

712. Les volumes engendrés par un rectangle tournant successivement autour de ses côtés adjacents sont de a mètres cubes et de b mètres cubes : trouver la longueur de la diagonale de ce rectangle.

713. Calculer l'aire convexe, Taire totale et le volume d'un cône équilaléral en fonction de son côté. — Pour quelle valeur de ce côté l'aire totale du cône est-elle i mètre carré ou son volume i mètre cube?

714. Partager l'aire latérale d'un cône de révolution en n parties équivalentes par des plans parallèles à sa base.

713. La hauteur d'un tronc de cône de révolution étant 3 mètres et ses bases ayant pour rayons 2 mètres et i mètre, partager son volume en trois parties proportionnelles aux nombres 2, 3 et 7, par deux plans parallèles aux bases.

716. Le volume d"un tronc de cône de révolution étant 41"', 39.8, sa hauteur i^jSij, le rayon d'une de ses bases a"", 698, on demande de calculer à o'",ooi près le rayon de sa seconde base.

717. Calculer à 0,001 près le rapport que doivent présenter les rayons des bases d'un tronc de cône de révolution pour que son volume soit la moitié de celui du cylindre de même hauteur élevé sur la base inférieure du tronc.

718. Quel est le rapport des volumes engendrés par un parallélogramme tournant successivement autour de ses deux côtés adjacents?

719. Soit ABCDEF un hexagone régulier circonscrit à un cercle de centre 0 et de rayon R. On mène la diagonale FC et les droites AC et BF qui se coupent en I sur le rayon OH perpendiculaire à FC, et l'on demande

r.. Pt DE C. — Tr. (le Géoni. (M' Partifi). 34

53o GÈOMÉTKIE DANS l'eSPACE.

de calculer, en fonction de R, les volumes et les aires des cônes engendrés par les triangles IHA, 10F, en tournant autour de OH pris pour axe.

720. Soit B'C la projection du diamètre BC d'un cercle OA sur la tangente TT' au point A : chercher pour quelle position de BC le rapport du rercle OA à l'aire totale du tronc de cône engendré par la rotation du trapèze BCB'C autour de TT' est égal à m\ discussion.

721. Calculer les rayons des bases d'un tronc de cône de révolution, connaissant sa hauteur, son côté et son aire ou son volume.

722. Un tronc de cône de révolution d'une substance dont le poids spécifique est d est plongé verticalement dans un liquide dont le poids spécifique est r/'; les rayons de ses bases sont R et /-, sa hauteur est //. On demande de calculer la hauteur de la partie immergée et le rayon de la section déterminée dans le tronc de cône par la surface de niveau du liquide.

723. Quel est le volume maximum d'un cône de révolution dont le côté est donné?

724. Parmi tous les cylindrea ou tous les cônes qui ont môme aire totale, quel est le cylindre ou le cône de volume maximum? — Parmi tous les cylindres ou tous les cônes éijuivalents, quel est le cylindre ou le cône d'aire totale minimum?

72o. Inscrire dans un cône donné un cylindre de volume donné; discussion. — Circonscrire à un cylindre donné un cône de volume donné; discussion.

§§ III, IV, V, VI. — Premières notions sur la sphère. — Propriétés des triangles sphériques. — Aire et volume de la sphère.

726. Trouver le lieu des points qui sont à la distance a d"un point A et à la distance h d'un point B.

727. Par une droite donnée, mener un plan tangent' à une sphère donnée.

728. Par une droite donnée, mener à une sphère donnée un plan sécant (jui détermine une section de rayon donné.

729. Lorsque trois sphères se coupent deux à deux, les plans des trois cercles d'intersection se coupent suivant une même droite perpendiculaire au plan déterminé par les centres des trois sphères.

730. Trouver le lieu des centres des sections faites dans une sphère donnée par tous les plans sécants qui passent par une droite donnée ou par un point donné.

QUESTIONS PKOI'OSÉES. ^S i

731. Connaissant les rayons de deux sections parallèles faites dans une sphère et la distance de Ces sections, trouver le rayon de la sphère.

7.'j2. Trouver la plus courte ot h plus grande distance d'un point donné à une surface sphérique. — Trouver le lieu dos points qui sont à une dislance donnée d'une sphère donnée.

733. Trouver la plus courte distance d'une droite donnée ou d'un plan donné à une surface sphérique.

734. Si d'un point de la surface sphérique comme pôle on trace un cercle avec un ray^on sphérique égal au cimpiième ou au tiers d'un quadrant, le rayon du cercle obtenu est la moitié du rayon de la sphère ou le plus grand segment de ce rayon divisé en moyenne et extrême raison.

73o. La somme des carrés des cordes interceptées par une sphère donnée sur trois droites rectangulaires partant d'un point donné est constante, ainsi que la somme des carrés des six segments déterminés sur ces trois cordes par le point donné.

736. Trouver le diamètre de la sphère circonscrite à une pyramide triangulaire dont trois faces sont perpendiculaires entre elles.

737. Si, d'un point de l'espace, on mène des sécantes à une sphère donnée, le produit des dislances de ce point aux deux points d'intersection de chaque sécante avec la sphèio est constant.

738. Mener dans une sphère donnée trois cordes perpendiculaires entre elles, qui passent par un point dfinné et qui soient proportionnelles à des nombres donnés. — Mener dans une sphère donnée trois plans perpendiculaires entre eux, qui passent par un point donné et qui déterminent trois cercles dont les aires soient proportionnelles à des nombres donnés.

739. Si deux cercles de l'espace sont tels, que leurs centres soient les projections d'un même point et que les tangentes menées à ces cercles par un point de l'intersection de leurs plans soient égales, ces deux cercles sont situés sur une même sphère.

740. La somme des carrés des projections de trois rayons d'une sphère perpendiculaires entre eux sur un plan quelconque est égale au double du carré du rayon de ia sphère.

74Ï. Étant données deux sphères solides, trouver la dislance de leurs centres par une construction plane.

742. Trouver le lieu des points de l'espace dont le rapport des dislances à deux points fixes est constant. — Trouver le lieu des [loinis de l'espace également éclairés par deux lumières données.

743. Trouver le lieu des points dont la somme des carrés des distances

i)32 GÉOMÉTltlE DANS l'kSPACE.

à deux points donnés est constante. — Trois points étant donnés, trouver le lieu des jioints dont la somme des carrés des distances est à la fois constante par rapport au premier et au second point, par rapport au premier et au troisième.

■ 744. Trouver le lieu des points d'où l'on voit une sphère donnée, deux sphères données ou trois sphères données, sous un angle donné.

74o. Indiquer le lieu des points d'où l'on voit une droite donnée sous un angle donné, ou deux droites données issues d'un même point, sous des angles respectivement donnés.

74G. Trouver le lieu des centres des sphères qui coupent deux sphères données ou trois sphères données suivant des grands cercles.

747. Quelle est la condition pour que quatre points de la surface sphérique appartiennent à un même plan?