Construire une sphère

i" Respectivement tangente à trois droites données en un point donné de chacune d'elles;

2° Passant par trois points donnés et tangente à un plan ou à une sphère donnée;

3° Passant par deux points donnés et tangente à deux plans ou à deux sphères données;

4" Passant par un point donné et tangente à trois plans ou à trois sphères données;

5° Tangente à trois plans donnés et à une sphère donnée;

6° Tangente à un plan donne et à trois sphères données;

7" Tangente à deux plans donnés et à deux sphères données.

QUESTIONS PROPOSÉES. 53û

81a. Mener par uno droite donnée vin plan qui coupe doux spliéres données suivant des cercles de rayons proportionnels à ceux des sphères.

816. Mener par un point donné un plan qui coupe trois sphères données suivant des cercles de rayons proportionnels à ceux des sphères.

817. De tous les triangles sphériques formés avec deux côtés donnés, le triangle d'aire maximum est celui dans lequel l'angle compris entre ces côtés est égal à la somme des deux autres angles.

818. De tous les triangles sphériques isopérimètres et de même base, le triangle isocèle est un maximum.

819. Deux triangles et un point étant donnés dans un plan, mener par le point une droite telle, que les volumes engendrés par les triangles tournant autour de cette droite soient dans un rapport donné. — ^Mime problème pour deux cercles donnés. — Même problème pour trois triangles ou trois cercles donnés.

S20. Étant donnés un cercle et un point intérieur, est-il possible de le projeter centralement suivant un cercle qui ait pour centre la projection du point donné?

821. Les trois arcs de grand cercle qui, passant par chaque sommet d'un triangle sphérique, le divisent en deux parties équivalentes, se coupent aux deux mêmes points.

822. On peut toujours transformer un groupe de trois sphères données en un groupe de trois autres sphères de rayons égaux : quel est le lieu des pôles de transformation?

823. Trouver le lieu des points dont les puissances par rapport à trois sphères données sont entre elles comme les rayons de ces sphères.

82i. Peut-on, par la méthode des rayons vecteurs réciproques, ramener le problème de la S[)hère tangente à quatre sphères données au problème de la sphère tangente à une sphère et à trois plans? Quel point faut-il choisir pour pôle de transformation ?

82-j. Étant données quatre sphères de rayons/*, -+- o, r\-{-o,r.,-^ o, r, -ho, trouver le lieu que décrit leur centre radical quand on fait varier p. — Quel est le problème analogue de Géométrie plane?

820. Par deux points A et B donnés sur la surface de la sphère, on fait passer des cercles auxquels on mène ensuite des grands cercles tangents

. par un point C pris sur l'arc de grand cercle AB [)rolongé: quel est le lieu des points de contact?

827. Étant donnés un cercle et deux points do la sphère, mener par 3C3 deux points un second cercle qui coupe le premier en deux points distants d'une longueur donnée.

54o GÉOMÉTRIE BANS L'ESPACE.

828. Étant donnés sur une sphère deux grands cercles et un petitcercle A, mener aux deux grands cercles un cercle tangent B tel, que, si l'on mène ensuite aux deux cercles A et B deux tangentes communes sphériques, leur angle soit égal à un angle donné.

829. Étant donnés sur une sphère deux points et un grand cercle, trouver sur ce cercle un point tel, que la somme de ses distances sphériques aux deux points donnés soit égale à un arc donné.

830. Étant donnés sur une sphère un point et deux grands cercles, mener par le point un cercle qui coupe les deux autres sous des angles dont la somme soit donnée.

831. Construire un triangle sphérique, connaissant sonaire, un angle et un point par lequel doit passer le côté opposé à cet angle.

832. Construire un triangle sphérique, connaissant un angle, le côté opposé et le cercle inscrit au triangle.

833. Étant donnés sur un cercle de la sphère deux points A et B, trouver sur ce cercle un troisième point C tel, que les deux grands cercles CAet CB se coupent sous un angle donné.

83i. Les arcs qui, menés par les sommets d'un triangle sphérique, partagent respectivement son aire en deux parties équivalentes, se coupent au même point.

83?). Décrire sur une sphère donnée un cercle qui soil tangent à deux cercles donnés et qui coupe en deux parties égales la circonférence d'un troisième cercle donné.

836. Décrire sur une sphère donnée un cercle qui coupe trois cercles donnés A, B, C, chacun en deux points diamétralement opposés.

837. Décrire sur une sphère donnée un cercle qui coupe deux cercles donnés sous des angles donnés et qui rencontre un troisième cercle donné en deux points diamétralement opposés.

838. Si plusieurs triangles sphériques ont un côté commun, les circonférences de grand cercle passant par les milieux des deux autres côtés de chacun de ces triangles concourent en un même point.

839. Par un point donné sur une sphère, mener un cercle qui coupe trois cercles donnés sous des angles égaux.

840. Décrire sur une sphère donnée un cercle qui coupe quatre cercles donnés sous des angles égaux.

841. Une sphère variable, mais assujettie à passer par deux points fixes.

touche une sphère flxe en une suite de points formant une circonférence de cercle.

842. Une sphère variable, mais assujettie à passer par trois points fixes, coupe une sphère fixe suivant une série de cercles dont les plans passent par une même droite.

8i3. Quels sont sur la sphère les théorèmes analogues à ceux do Pascal et de Brianchon (voir les a"* 3-28 et 329)?

GÉOMÉTRIE DANS l/ ESPACE,