LIVRE VIII

LES COURBES USUELLES

§§ I, ÎL — Propriétés fondamentales de l'ellipse et de l'hyperbole.

8U. Quelle est la pli;s courte et la plus grande distance du centre de l'ellipse à un point de l;i courbe ?

8i3. Quel est le lieu du centre d'une ellipse qui glisse entre deux axes rectangulaires ?

846. Deux ellipses dont les grands axes sont égaux et qui ont un foyer commun ne peuvent se couper qu'en deux points.

847. Quel est le lieu des points également distants do deux circonférences intérieures ou extérieures Tune à i autre?

8-48. Quel est le lieu des centres des cercles tangenis à deux cercles donnés? — On examinera les différents cas possibles.

8-49. Sur les deux tangentes PM, PM', à une ellipse ou à une hyperbole dont les foyers sont F et F', on prend des longueurs PQ, PQ', respectivement égales à PFet à PF': démontrer que la droite QQ'est égale au grand axe de l'ellipse ou à l'axe transverse de l'hyperbole.

830. Le grand axe de l'ellipse ou l'axe transverse de l'hyperbole et une tangente quelconque interceptent, sur les deux tangentes menées aux extrémités de l'axe de la courbe, des longueurs dont le produit est constant.

831. Des cercles touchent une droite AB en un point fixe C, et des points fixes A et B on mène des tangentes à ces cercles : trouver le lieu des points d'intersection de ces tangentes.— Le point C peut être entre A et B ou sur AB prolongée.

8.")2. Soient les deux tangentes menée? à l'ellipse ou à l'hyperbole par un point extérieur et une troisième tangente quelconque: démontrer que îa longueur interceptée sur celte troisième tangente par les deux premières est vue de chaque foyer sous un angle constant.

85o. Démontrer directement que, si l'on mène à une hyperbole deux

QUESTIONS PROPOSÉES. ■)^o

tangentes PM, P.M', par un môme point extérieur P, les angles PFM, PFM' sont égaux ou supplémentaires, suivant que les points de contact M et M' appartiennent ou non à la même moitié de la courbe.

834. Trouver le lieu des centres des ellipses dont le grand axe a la môme longueur, qui ont un foyer commun et qui touclient une droite donnée.

8dd. Quels sont les lieux géométriques : rdes sommets ; 2° des points de rencontre des côtés non parallèles; 3". des points d'intersection des diagonales, des trapèzes construits sur une base fixe, et dans lesquels la longueur de l'autre base est donnée, ainsi que la somme ou la ditrérence des côtés non parallèles ?

806. Construire une ellipse ou une hyperbole, connaissant : 1° ses foyers et un point; 2" ses foyers et une tangente; 3° un foyer, deux points et une tangente ; 4° un foyer, un sommet et une tangente; 5° un foyer, deux tangentes et le point de contact de l'une d'elles ; 6" un foyer et trois tangentes; 7° le centre, deux tangentes et la longueur du grand axe ou de l'axe transverse.

837. On donne les positions d'un foyer et d'un point d'une ellipse, ainsi que les longueurs des axes : déterminer son centre.

858. Le cercle qui a pour diamètre la portion d'une tangente quelconque à l'hyperbole interceptée par les tangentes menéesaux extrémités de Taxe transverse passe par les foyers de la courbe.

§ III. — Propriétés fondamentales de la parabole.

839. La perpendiculaire abaissée du foyer de la parabole sur une tangente à la courbe est moyenne proportionnelle entre le rayon vecteur du point de contact et la moitié du paramètre /j.

8G0. Si PM et PM' sont les deux tangentes menées à la parabole par un point extérieur P, les triangles FPM, PPM', sont semblables, et FP est la moyenne proportionnelle des rayons vecteurs FM, FM', des deux points de contact.

861. Si PM et PM' sont les deux tangentes menées à la parabole par un point extérieur P, démontrer que la parallèle menée à l'axe par le point P passe par le milieu de la corde MM', et que la tangente au point où cette parallèle rencontre la courbe est elle-même parallèle à la corde .MM'.

8G2. Si l'on rapporte la parabole à une tangente et au diamètre mené par son point de contact pris comme axes coordonnés, le carré de l'or-

5^4 GÉOMÉTRIE DANS i/eSPACE.

donnée d'un point de la courbe est égal à quatre fois le produit du rayon vecteur de l'extrémité du diiimètre par l'abscisse du point considéré.

863. Si deux cordes de la parabole se coupent, les produits de leurs segments sont dans le rapport des rayons vecteurs des extrémités des .diamètres qui leur sont conjugués.

804. MN étant une tangente commune à la parabole et au cercle décrit sur la corde menée perpendiculairement à l'axe par le foyer comme diamètre, démontrer que les droites FM et FN sont également inclinées sur cette corde.

865. La tangente en un point de la parabole rencontre la directrice et la corde menée par le foyer, perpendiculairement à l'axe, en des points équidistants du foyer.

866. Si l'ordonnée d'un point M de la parabole passe par le milieu de la sous-normale qui correspond à un point M', l'ordonnée du point M est égale à la normale qui correspond au point M'.

807. Si d'un point pris sur une tangente à la parabole on mène une autre tangente à la courbe, l'angle compris entre cette tangente et la droite menée du même point au foyer est constant.

868. Construire une parabole qui touche un cercle donné en un point donné, et dont l'axe soit tangent au même cercle en un autre point donné.

869. Si par le point de contact d'une tangente à la parabole on tire une corde, puis qu'on trace une autre droite parallèle à l'axe, la portion de cette droite comprise entre la tangente et la corde sera divisée par son point de rencontre avec la courbe dans le même rapport que cette droite elle-même divise la corde.

870. Si le diamètre de la parabole menée par le point M rencontre la directrice en K et la corde menée par le foyer parallèlement à la tangente MT en H, on a

MK= MH.

871. Quel est le lieu du point d'intersection du diamètre mené en un point de la parabole avec la corde tracée par le foyer parallèlement à la tangente au" même point?

872. AB et AC étant deux droites rectangulaires, on mène la droite quelconque AR et la parallèle fixe CR à AB, puis, on prend sur AR un point M tel que son ordonnée MQ par rapport à AB soit égale à CR: quel est le lieu du point M ?

873. On considère dans un cercle un diamètre fixe AOB et un rayon quelcon(|ue OC; D étant le milieu de la corde CE menée parai lètement

au diamètre fixe, on demande le lieu du point d'intersection des droites OC et AD.

874. Si deux tangentes égales à la parabole sont coupées par une troisième, les segments déterminés sur ces tangentes sont égaux, mais les segments égaux ne sont pas placés de même sur les deux tangentes.

875. Le cercle déterminé par les points d'intersection de trois tangentes à la parabole passe par le foyer.

876. MFN étant une corde quelconque menée par le foyer de la parabole, si Ton trace du sommet S les droites SM et SN, elles rencontrent la corde focale perpendiculaire à l'axe en deux points P et Q dont les distances au foyer sont égales aux ordonnées des points N et M.

877. Si d'un point 0 pris sur l'axe de la parabole on mène une corde, la dislance SO du sommet S au point 0 est la moyenne proportionnelle des abscisses des extrémités de la corde.

878. Du sommet S, on mène deux droites rectangulaires qui viennent rencontrer la parabole aux points M et M'; le paramètre 2/j est la moyenne proportionnelle des abscisses des points M et M'.

879. Quel est le lieu du centre du cercle inscrit dans le secteur circulaire AOB, dont l'un des rayons OA est fixe et dont l'autre OB est mobile ?

880. Sur une corde de la parabole comme diamètre,on décrit un cercle qui coupe la parabole en deux autres points; si l'on joint ces [)Oints, les deux cordes considérées interceptent sur l'axe de la courbe une longueur égale au paramètre a/?.

881. Deux paraboles égales qui ont un même foyer et leurs axes dirigés en sens contraires se coupent à angle droit.

882. Si un triangle est inscrit dans une parabole, les points où ses côtés prolongés viennent rencontrer les tangentes menées à la courbe par les sommets opposés sont en ligne droite.

883 Si les tangentes PM, PM', à la parabole sont coupées en Q et en Q'

par une troisième tangente, on a

PQ Q^' QM " PQ' *

884. Si l'on tire par le sommet de la parabole des cordes à angle droit l'une sur l'autre, et qu'on construise sur ces cordes un rectangle, quel est leiieu de son quatrième sommet ?

S8o. Si une parabole roule sur une autre parabole égale, les sommets

R. et DE C. — Tr. (le Gcom. (II« Partie). iî.j

546 GÉOMÉTUIE DANS l'eSPACK.

étant d'abcrd confondus, le foyer de chaque courbe trace la directrice de l'autre.

886. Quel est le lieu des points également distants d'une droite et d'une circonférence données ?

887. Quel est le lieu des points dont la somme ou la différence des distances à un point fixe et à une droite fixe est constante?

888. Des extrémités d'une corde focale de la parabole on abaisse de& perpendiculaires sur une droite quelconque de son plan; la somme des rapports de chaque ordonnée au rayon vecteur correspondant est constante.

889. Les carrés des perpendiculaires abaissées du foyer de la parabole sur deux tangentes sont proportionnels aux rayons vecteurs des points de contact.

890. Construire une parabole, connaissant : i° le foyer ou la directrice et deux points ; 2° le foyer ou la directrice, un point et une tangente; 3° le foyer ou la directrice, une tangente et son point de contact ; 4° le foyer ou la directrice et deux tangentes; 5° trois tangentes, parmi lesquelles la tangente au sommet; 6° quatre tangentes.

§§ IV, V, VI. — Ellipse considérée comme projection orthogonale du cercle. — Parabole considérée comme limite de l'ellipse. — Ellipse, Hyperbole et Parabole, considérées comme sections planes du cône de révolution.

891. La demi-corde focale de l'ellipse ou de l'hyperbole, perpendiculaire au grand axe ou à Taxe transverse de la courbe, est égale

892. Les tangentes aux extrémités d'une corde focale se coupent sur la directrice correspondante.

893. Si la tangente en M à l'ellipse ou à l'hyperbole de centre C rencontre en T le grand axe ou l'axe transverse de la courbe, MF étant l'ordonnée du point M par rapport à cet axe, on a

CT.CP = r/^

804. Les tangentes fixes aux sommets A et A' dune ellipse de centre C étant rencontrées par une tangente mobile en M et en M', on projette W sur CM en P; démontrer que le lieu du point P est un cercle passant par C.

895. Dans l'ellipse ou l'hyperbole, la distance d'un foyer au pied d'une normale sur le grand axe ou sur Taxe transverse de la courbe estau rayon vecteur correspondant du point de contact dans un rapport égal à l'excentricité de la courbe.

890. On mène l'ordonnée d'un point de lellipse ou de l'hyperbole et la normale au même point; le rapport des distances du pied de l'ordonnée au pied de la normale sur le grand axe, ou sur l'axe transverse et au

centre, est égal a -j-

897. MP étant l'ordonnée d'un point de l'ellipse ou de l'hyperbole dont le grand axe ou l'axe transverse est AA', on a

RÏP' A^

AP.A'P a'

898. Si une tangente en M à l'ellip-^e ou à l'hyperbole rencontre le petit axe ou l'axe non transverse en U, et si Q est la projection de M sur le même axe, C étant le centre de la courbe, on a

CU.CQ = ^^

899. Si deux tangentes PM, PAl', à l'ellipse partent d'un même point P, le centre de la courbe étant C, et la droite CP coupant la courbe en R et la corde de contact MM' en H, on a

Cr' = CH.CP.

900. Les normales en deux points M et M' d'une ellipse rencontrant l'un des axes en P et P', la perpendiculaire élevée au milieu de MM' passe par le milieu de PP'.

901. Une tangente mobile rencontrant en M et en M' les tangentes fixes aux sommets A et A' d'une ellipse, le point d'intersection P des droites AM' et A' M décrit une ellipse coivcentrique à la première.

902. Si l'on rapporte une ellipse ou une hyperbole à deux diamètres conjugués DD' et EE', de longueurs art' et ib\ pris comme axes coordonnés, MP étant l'ordonnée d'un point M de la courbe, on a

MP' h"

DP.D'P a"

903. Si CD et CE sont deux diamètres conjugués de l'ellipse ou de l'hyperbole, et ([ue la perjtendiculaire HK à CD rencontre le grand axe ou l'axe transverse de la courbe en G, on a

.j.'jS GÉOJlf/l'KIE DANS l'eSPACE.

904. Si CD et CE sont deux diamètres conjugués de l'ellipse ou de l'hyperbole, on a

FE.F'E = Cb\

903. Si deux cordes se coupent dans l'ellipse ou l'hyperbole, les produits de leurs segment-s sont proportionnels aux carrés des diamètres parallèles à ces cordes.

906. La distance du centre de l'hyperbole au point où une asymptote coupe une directrice est égale au demi-axe transverse. — La perpendiculaire abaissée d'un foyer sur une asymptote est égale au demi-axe non transverse. — Si une asymptote rencontre la tangente au sommet A en II et la directrice correspondante en I, AI est parallèle à FH.

907. Soit un point K de l'asymptote d'une hyperbole, dont l'ordonnée et l'abscisse par rapport aux axes de la courbe sont KP et KR; si KP coupe l'hyperbole en M et si KR coupe l'hyperbole conjuguée en N, on a

KP= — MP= = b' et KR' — NR^ = u\

De plus, la droite MN est parallèle à la seconde asymptote de l'hyperbole.

908. La directrice d'une hyperbole joint les projections du foyer correspondant sur les asymptotes.

909. Si par le point M d'une hyperbole on tire une sécante quelconque qui coupe les deux asymptotes en P et P', la tangente parallèle à cette sécante- et limitée aux deux asymptotes étant LQL', on a

mp.mp' = qlI

910. Deux hyperboles conjuguées interceptent sur une sécante quelconque des longueurs égales.

911. Tout point de l'hyperbole est également distant d'un foyer et de la directrice correspondante, cette dernière distance étant comptée parallèlement à une asymptote.

912. Si une tangente LQL' coupe les asymptotes en L et en L', l'aire du triangle CLL' est égale à ab.

913. Si M et N sont les points de rencontre de deux hyperboles conjuguées avec l'ordonnée et l'ahscisse d'un point d'une de leurs asymptotes, les tangentfs menées aux deux courbes en M et en N sont respectivement parallèles à CN et à CM.

QUESTIONS PROPOSÉKS. b^g

914. Soit un point M de rnyperbole; si MV est l'ordonnée de ce- point par rapport au diamèlre CD (c'est-à-dire la parallèle menée par M à la tangente en D) et si la tangente en M coupe CD en T. on a

CP.CT=rCD'.

9d5. Si MT est une tangente à l'ellipse au point M, rencontrant le grand axe AA' au point T, et si la perpendiculaire élevée en T au grand axe rencontre en Q et en Q' les droites MA et MA', on a

QT =-- O'T.

Olfi. Soit MFM' une corde focale de l'ellipse dont le grand axe est AA'; si l'on prolonge MA et M'A jusqu'à leurs points de rencontre Q et Q'avec la directrice qui correspond au foyer F, l'angle QVQ' est droit.

917. Dans l'ellipse, la somme des carrés des deux normales menécsanx extrémités de deux demi-diamètres conjugués est constante (on prend pour longueur d'une normale la distance du point de contact au pied de la normale sur le grand axe).

918. Soient dans l'ellipse deux demi-diamètres conjugués CD et CE ; sur la normale en D, on prend DP égale à CE : quel est le lieu du point P?

919. M et M' sont deux points de l'ellipse dont le grand axe est AA'; AM' et A'M' coupant l'ordonnée MP du point M en deux i^oinls Q et Q', on a

m' = VQ.TQ'.

920. Soient dans l'ellipse la normale MG et la perpendiculaire GL abaissée du point G sur le rayon vecteur FM; le rapport dv GL à l'ordonnée MP du point M' est égal à l'excentricité de la courbe.

921 . Si l'ordonnée MP d'un point M de l'ellipse rencontre en Q la tangente menée à l'extrémité de la corde focale principale, on a

QP = FM.

922. M étant un point fixe d'une ellipse et QQ' une corde quel(oni]ue conjuguée au diamètre CM, le ceicle Q.MQ' rencontre l'ellipse proposée en un point fixe.

923. M étant un point de relli|)sc, on lire la corde .MM' parallèle au grand axe, et, par le point M', on mène les cordes M'Q, M'Q', faisant des angles égaux avec le grand axe : démontrer que la droite QQ' est parallèle à la tancente en M.

55o GÉOMÉTIUE DANS L ESPACE.

92i. Quel esl le parallélogramme d'aire minimum circonscrit à l'ellipse ?

925. Quand la somme de deux diamètres conjugués de l'ellipse est-elle minimum?

926. Si du point M de l'ellipse on tire des droites aux extrémités d'un diamètre DD', lesquelles coupent son conjugué EE' aux points P et P', on a

cp.cp' = cd'.

927. Si CD et CE sont deux demi-diamètres conjugués de l'ellipse, on a

[¥D-aY-^{FE — ay = c\

928. Soient CD et CE deux demi-diamètres conjugués de l'ellipse dont les axes sont AA' et BB'; traçons les droites BI) et BE, ainsi que les droites A'D et AE qui se coupent en 0 : démontrer que le quadrilatère BDOE est un parallélogramme, et chercher dans quel cas son aire est maximum.

929. Si ^IFM', NCN', sont deux cordes parallèles menées par le foyer et par le centre d'une ellipse, démontrer qu'on a