SUR L'APPLICATION DES DÉTERMINANTS A LA GÉOMÉTRIE

1. Aire (lu triangle en fonction : i° des coordonnées des sommets; 2° des longueurs des côtés.

Soient O^et Oj deux axes de coordonnées rectangulaires situés dans le plan du triangle A, A^A^ ; .r, et r,, x.^ et j^, x.^ et j„ les coordonnées respectives des sommets A,, Aj, A,; et r/,,, */„, a?,,, les carrés des longueurs des côtés A,Aj, AjAj, A^A,. L'aire S du triangle est l'excès

Fi;j. G2(.

{fg. Gv.'i) du trapèze A, AjA'jA', sur la somme des trapèzes A, A^A'jA', et

A, A, A'. A',. On a donc

aS = {x^ - a-,) (J3 + r,) - (.r, - ^Jfr, -H.),) - (x.^ - ./-Jfr, -f- j.) = (,r,r, - x^, ) - [j-j:^ - .rj-^ ) -+- (.r,.)-^ - r.j-^ ) , ou

On peut mettre ce détermina-nt sous les deux formes suivantes ',

aS=-

en multipliant membre à membre, on trouve alors, d'après la règle de multiplication des déterminants,

I J^,.r,-+-J-,.'''2 ■^■2-^-jI ^i^2-^yû'i

Multiplions les trois dernières horizontales par — 2, puis divisons la première verticale par — 2; le déterminant sera multiplié par 4- Cela fait, aux trois dernières horizontales, ajoutons la première successivement multipliée par j:? -1-7?, a:l-hrl,xl -hyl, et de même, aux trois dernières verticales, ajoutons la première successivement multipliée par les mêmes facteurs; la valeur du déterminant ne sera pas altérée par ces dernières transformations, et si l'on se rappelle la formule bien connue

on aura finalement

I c/,, o (Yj, o

2. Volume de In pyramide trian^idnire en fonction : \° des coordonnccs des sommets ; 1" des longueurs des tiret es.

Soient :ox, oy.oz, trois axes de coordonnées rectangulaires; (^^,,7,, z,), {^i->J-2'>^2)^ (-^35 Js' 23), (jr^,7^,Si), les coordonnées des sommets A,, A^, A3, A^ : r/,,, r/,3, d^^, d^^, r/^,, </,,, les carrés des longueurs des six arêtes.

La marche est absolument pareille à celle que nous avons suivie pour le triangle. En projetant les sommets sur le plan xor, on verra que le volume du tétraèdre est la somme algébrique de troncs de prismes triangulaires dont les bases ou sections droites s'évalueront à l'aide de la for'-