La proposition (N., 14, 2°) peut être énoncée ainsi
Si une sphère touclie les faces d'un tétraèdre kik^Xzk^ aux points Pi, P2, P3, P4, les droites Ai?i, A2P2, A3P3, A^P^ sont des génératrices d'un même mode, d'un hyperboloîde ; les droites qui joignent les points Pi, P2, P3, P4 aux centres des sy médianes des triangles P2P3P4, PjPiPi» P4P1P2) P1P2P3 "ont des génératrices du second mode de la même surface.
De ce théorème et des n°' (N., 16 et 17), on déduit que les droites Ai Ju, •^2Jm) AjJ33, Aii il,, /oignant les sommets d'un tétraèdre XiAzAsAitaux points de contact des faces opposées avec les sphères exinscrites correspondantes, forment un quadruple hyperboloîdique. Les droites AiJm A2J32, A3.i23, ki,}\ ,^ jouissent de la même propriété.
SUR LES HAUTEURS D'uN TÉTRAÈDRE.
22. Nous désignons {fig. 6) par Hi, H2, H3, Hi les projections des sommets du tétraèdre AiA2A3Av sur les faces opposées.
Si deux hauteurs AiHi, A2H2 se coupent en un point H, les arêtes Al A», AsAv sont perpendiculaires, et les hauteurs A3H3, A^H^ se coupent également en un point H'; les points H, II' sont situés sur la p!u^courte distance MN des arêtes k\kzi A3 Ai.
Ea eilet, le plan Ai A2 II est perpendiculaire auxplansA2A3A4, Ai AsA; «t, par suite, à leur intersection A3 A^ (S08, î)61); donc AiAo, AjAv sont rectangulaires. Réciproquemeht, si ces arêtes font un angle droit, on peut mener par Al Ao un plan z perpeufliculaire à A,tAi.('L co i>liin con-
tient nécessairement les hauteurs Ai Ht, A2H2 (521); de môme, le plan a' mené par AsA» perpendiculairementà A1A2 contient les droites A3H3, AfcHv. Les plans a, a' se coupent suivant une droite iVlN, qui est la per-
Fig. 6.
pendiculaire commune à A1A2, AjA^; cette droite est une hauteur de chacun des triangles AiA2iM, A3A4N.
On trouve facilement les ésialités
d'où
A^M — A3M = AjAî — A3A2 — A4A1 — AsA),
«J -4- «i = rtj -I- rtg.
Soient jTi, xj, X3, x^ les coordonnées normales d'un point quelconque P de la hauteur A^Hv; on a
oTi = A4P cosa,, Xï = A4P cosa2, X3 = AvPcosa3,
d'où
cosaci cosaj cosas 9e même, pour les coordonnées de tout point de AsHi,
^) J^^ ÛC^
cosΞ cosa^ cosaj
Si les hauteurs Â4H4, A3H3 ont un point commun H', on a, nécessairement,
COSai COSa^ = cosaj cosocj.
23. Supposons maintenant (/f^-. 7) que les trois hauteurs AiHi, A2H2, AjHj concourent en un même point H. Alors, d'après ce qui pions- 7-
cède, les arêtes opposées A,Aî et AsA^, A2A3 et AiAi, A3A1 et A^Aj sont perpendiculaires, et
COSai COSav = cos a^ cosa; = cosaa cosaj; de plus, la hauteur AtH* passe également par II. Les plus courtes distances des arêtes opposées se coupent é^^alement en H; les pieds de ces droites sont les pieds des hauteurs des faces du tétraèdre, et les points Hi, Hj, II3, H4 sont les orlhocenlres des faces.
Le tétraèdre particulier que nous venons de rencontrer a été appelé tétraèdre orthocentrique.
24. Dans tout tétraèdre orthocentrique AjAiAsA», les milieux des
arêtes et les pieds dex plus courtes distances des arêtes opposées sont douze points d'une même sphère, ayant pour centre le centre de gravité G du tétraèdre C première sphère de douze points).
Car, les milieux de deux couples d'arêtes opposées étant les sommets d'un rectangle, les trois médianes du tétraèdre sont égales, et G est le centre d'une sphère passant par les milieux des six arêtes. Cette sphère passe, évidemment, par les circonférences des neuf points des faces du tétraèdre; donc elle contient les pieds des hauteurs de ces faces, et son centre est au milieu de la distance comprise entre l'orthocentre H du tétraèdre et le centre 0 de la sphère circonscrite (').
25. Dans tout tétraèdre orlhocentrique Ai Aj A3 A4, les centres de gravité des faces, leurs orthocentres et les points qui divisent dans le rapport 1 ; i les segments des hauteurs du te'traèdre compris entre les sommets et leur point de concours H, sont douze points d'une même sphère, dont le centre 0' divise la distance HO dans le rapport i : 2 (seconde sphère de douze points).
En effet, les centres de gravité Gi, G2, G3, G4 des faces du tétraèdre sont les sommets d'un tétraèdre homothétique à AiA2A3At par rapport à G; les hauteurs de ce nouveau tétraèdre concourent donc en un même point H' de la droite HG, et l'on a HG = 3GH'; le centre 0' de la sphère G1G2G3G4 divise la distance HO dans le rapport 3 : i. Comme on a HiGi= 3GiOi et, par suite, HH'= 3H'0, on voit aisément que
Donc D'est à la rencontre des perpendiculaires élevées sur les faces du tétraèdre par les milieux des segments HiGi, HjGj, ...: par conséquent, la sphère 0' passe également par les points Hj, Hj, Enfin,
la droite dkO' coupe Aa-H en un point L* appartenant à la sphère 0' et tel, que UH = H'Ga = i A^H.
Remarque. — Les points H, H' sont des points inverses par rapport au tétraèdre AjAsAsAi. Les droites Ai H', AjH', A3 H', A4 H' sont perpendiculaires aux faces de tétraèdre H1H2H3H4.
26. Un tétraèdre orlhocentrique Ai Aj A3 A4 est autopolaire par rapport à une sphère ayant pour centre l'orthocentre du tétraèdre.
Car, H étant l'orthocentre des triangles AiAjM, . . ., on a
HAi.HHi = HA2.HH2 = HA3.HH3 = HA4.HH4;
donc chaque sommet est le pôle de la face opposée par rapport à la
sphère décrite du centre H avec le rayon y/HAi-HH,. Toutefois, pour
que cette sphère soit réelle, H doit tomber à l'extérieur du tétraèdre.
(') Comparer ce qui précède avec les Exercices 639, 640, 641, 1029, 1025 (p. 020, 521, 559).
ce qui exige que l'un des angles solides du tétraèdre soit composé de trois angles plans obtus.
Remarque.
Les sphères circonscrites aux tétraèdres AiAjAsAi et HiH2H3Hi, la première sphère de douze points de AiAîAsAv el la sphère conjuguée ont pour plan radical commun le plan d'homologie des tétraèdres AjAîAaAt, H,H2H3Hi.
27. Les points Aj. A^, A3, A*. H sont les sommets d'un pentagone orthocentrique : la droite qui joint deux quelconques de ces points est perpendiculaire au plan passant par les trois autres points ; chacun de ces points est l'orthocentre du tétraèdre ayant pour sommets les quatre autres points.
Pour construire un tétraèdre orthocentrique, on peut prendre arbitrairement les sommets Aj, Aj, A3; le quatrième sommet Ai est un point quelconque de la perpendiculaire menée sur le plan du triangle A] A, A3 par son orthocentre. On peut également se donner à volonté un trièdre AiAiAjAs; les plans menés par les arêtes du trièdre perpendiculairement sur les faces opposées (plans-hauteurs), se coupent suivant une même droite A^X, et un plan perpendiculaire à A^X forme avec le trièdre donné un tétraèdre orthocentrique.
Les arêtes d'un trièdre et l'intersection de ses plans-hauteurs constituent un quadrarête orthique : chacune de ces droites est l'intersection des plans-hauteurs du trièdre ayant pour arêtes les trois autres. Un plan perpendiculaire à l'une des droites coupe les quatre lignes aux sommets d'un quadrangle orthique, c'est-à-dire en quatre points dont chacun est l'orthocentre du triangle des trois autres sommets.
Les hauteurs d'un tétraèdre orthocentrique forment un quadrarête orthique.
28. On sait que toute conique passant par les sommets d'un triangle et par son orlhocentreest une hyperbole équilatère. (Exercice 1067, p. 563.)
Un cône du second ordre, circonscrit à un quadrarête orthiqueS A Al A2 A3 jouit également de propriétés particulières : il est capable d'une infinité detrièdres trirectangles,et d'une infinité de quadrarêtes orthiques.
En effet, un plan a perpendiculaire à la droite SA coupe le cône suivant une conique K, et les droites SA, SAj, SA», SA3 en des points que nous indiquons par A, Ai, Ai, A3 Comme A est l'orthocentre du triangle Ai A2A3, K est une hyperbole équilatère.
Prenons sur K un point quelconque Bi, et menons par S un plan perpendiculaire à la droite SBi ; si 82, B3 sont les points de rencontre de ce plan avec K, A est l'orlhocenlre du triangle BiB2B3, car ce triangle est inscrit à l'hyperbole équilatère et la droite BiA est perpendiculaire à BjBj. Soient Cj, Cj, C3 les points où les droites BiA, BjA, BjA
coupentBîBs.BsBijBiBa.Oaa ABi.ACi =AB2.ACs = ABs.AC3 et, comme
SA = — ABj.ACi, onaaussiSA = — ABî.ACj = — AB3.AC3, d'où l'on conclut que les angles BjSCo, BsSCsSont droits et que le trièdreSBiB2B3 est trirectangle.
Réciproquement, tout cône du second ordre circonscrit à un trièdre trirectangle SB1B2B3 jouit de la propriété que les plans-hauteurs de tout trièdre inscrit SAA1A2 se coupent sur le cône. Car, si un plan a perpendiculaire à SA coupe les arêtes des deux trièdres en Bi, Bj, B3, A, Al, A2 et le cône suivant la conique K, le point A est, d'après un théo''ème connu, l'orthoccntre du triangle B1B2B3; il en résulte que K est une hyperbole équilatère. Soit A3 le point où la perpendiculaire menée de A sur A1A2 coupe l'hyperbole; A est l'orthocentre du triangle A1A2A3 et, par suite, SA est l'intersection des plans-hauteurs du trièdre SA1A2A3, et SA3 celle des plans-hauteurs du trièdre SAAjAj.
Le cône que nous venons de rencontrer est dit cône équilatère; comme une génératrice quelconque SBj est une arête d'un trièdre trirectangle inscrit SB1B2B3, un plan perpendiculaire à SBi coupe le cône suivant une hyperbole équilatère dont les asymptotes sont parallèles à SBj, SB3.
29. Les hauteurs d'un tétraèdre quelconque A1A2A3A4 sont des génératrices d'un hyperhololde équilatère, dont le centre o) est symétrique du centre 0 de la sphère circonscrite par rapport au centre de gravite' G.
Soient Al Hi, ..., les hauteurs du tétraèdre Ai A2 A3 A4, et /ii, ...,les orthocentres des faces. Les plans HiAi/^4! '^i^-^ht,. H3A3/(v sont perpendiculaires au plan A1A2A3, car ils contiennent, chacun, deux perpendiculaires à un môme côté de triangle A1A2A3. Il résulte de là que la perpendiculaire h^x menée par h^ sur le plan AiA^Aj rencontre les quatre hauteurs du tétraèdre. On peut de même trouver trois autres droites s'appuyant sur AiHi, A2H2, A3H3, AvH4. Les hauteurs sont donc des génératrices d'un même hyperboloïde.
Cette surface est coupée par le plan A1A2A3 suivant une hyperbole équilatère K, car les points Ai, Ai, A3, hi^ appartiennent à la courbe d'intersection. Or, trois génératrices du cône asymptote sont parallèles aux asymptotes de l'hyperbole K et à AiHj ; ce cône est donc équilatère.
Le centre co de l'hyperboloïde est équidistant des génératrices parallèles A4 Ht, hi,x. Celles-ci étant contenues dans les plans menés par les points A4, Al perpendiculairement à A2A3, to est situé dans le plan mené par le milieu de A4 Ai perpendiculairement à AîA3, plan qui est symétrique, par rapport à G, du plan perpendiculaire au.milicu de Aj A3. On en conclut que oj et 0 sont symétriques par rapport à G.
