I ... (Xi, [A2, [X3; J4 .. . Vi, V2, V
J, . . . Vi, (X2, [X3; J2 .. . t^i, Vo, (X3; J3 . . . JXi, [Xo, V3;
J'i . . . [i-l, V,, V3; Jo. .. Vi, fX,, V3; J3...V1, Vo, [X3;
leurs points de contact avec le plan A1A2A3 seront dénotés par 1^, J44,
Jl4) •••,■' li,
Considérons {Jig. 2) l'une quelconque de ces sphères. Rabattons les
Fis
plans .îi, J», ^3 autour des arêtes «1, «2, «3 sur le plan ^4 dans des «ens tels, qu'ils écrasent la sphère; leurs points de contact viennent coïncider avec le point de contact du plan s,, et, comme ils étaient à égale
distance de A4, le point de contact de Si, sera le centre de la circonférence passant par les trois rabattements de A4 sur le plan A1A2A3.
D'après cela, nous décrivons dans leplan A1A2A3 trois circonférences ayant pour centres les points Ai. A2, A3 et pour rayons les distances Al A4, A2A4, A3 A4. Soient Dj et D', , D2 et D'j, D3 et D3 les intersections de ces courbes deux à deux; ce sont les différents rabattements possibles du sommet A4 autour des arêtes «i, «,, 03. Si Di, Do, D3 sont situés du même côté de ces arêtes que les sommets opposés Aj, Aj, A3, les points de contact du plan A1A2A3 avec les sphères cherchées sont les centres des circonférences passant par les points suivants :
h D,, D2, D3; J44.... d;, Di,D;;
J,4.... D',,D2, D3; J24.... D,, D;, Da; J34 . • • DuD,,n',-
.1;,... D,, D'2, D3; .1;,... d;. Do, D'3; .lu... d;,d'2, D3.
Les droites DjD'j, DoD',, D3D3 concourent en un même point H4, qui est la projection de A4 sur le plan A1A2A3. Comme
H4D1.H4D; = HtDj.HiD; = H4D3.H4D'3,
les circonférences D1D2D3, D, D', D3 sont des lignes inverses par rapport au point H4, et leurs centres I4, J44 sont en ligne droite avec H4; cette dernière propriété résulte aussi de ce que les plans bissecteurs des dièdres A4A1, A4A2, A4A3 du tétraèdre se coupent suivant une même droite passant par A4, I, J4. Les points I4, J44 sont des points inverses par rapport au triangle Ai A2 A3; car les lignes Ai I4, AiJ44, par exemple, sont perpendiculaires aux lignes D2D3, D2D3 qui, étant antiparallèles par rapport aux droites D2D'2, D3D3, le sont aussi par rapport à A1A3, A1A2. Celte proposition peut se démontrer directement; en effet, si X, Y, Z, X', Y', Z' sont les projections de U, J44 sur A2A3, A3A1, Ai A2, les triangles II4X ot X'J44J4, . . . sont semblables, d'où les égalités
I4X.J44X'= I4Y..I44Y'= l4Z.J44Z'= II4.J4J4V,
de sorte que les coordonnées normales de J44 sont inversement proportionnelles à celles de 14.
Ainsi, les points li et J44, J14 et .I',.;, J24 et J',^, J34 et J34 so/it des points inverses- par rapport au trian-^le A1A2A3; ils sont situés sur quatre droites passant par II4.
18. Les triples de points DiDîDsjD'i D'2 DjjD'jDjDa, DjD'jDs, DjDzD; sont toujours les sommets de triangles proprement dits ; par conséquent,
les points I4, J44, Ju, J24, J34 sont à distance finie; la sphère inscrite et les sphères exinscrites existent toujours.
Si les points Dj, D2, D3 sont situés en ligne droite {fig. 3), le point J3 4 se transporte à l'infini dans la direction perpendiculaire à D', D'^; et nous dirons que la sphère Jj disparaît à l'infini. La circonférence D1D2D3 passe maintenant par H4 et son centre J3 est situé sur la circonférence circonscrite au triangle A1A2A3, à l'intersection avec la perpendiculaire
Fis. 3.
abaissée de II4 sur D'^ Dg. Le triangle D1D2D3 est symétriquement semblable à A1A2A3. Le quadrilatère inscrit D1D2D3H4 donne
DiDa.HiD'a = DiD'3.HvD2 + DaD'j.H^Di
ou, en remplaçant les côtés de D1D2D3 par ceux de A1A2A3,
AiA2(C3D3-+-C3Hv) = AiA3(C2D2-G2HO + A2A3(CiD, — CiHO,
d'où l'on tire aisément
.V3 -^ Si, — Sx->r S^.
Telle est la condition pour que la sphère J3 disparaisse. On peut lui donner d'autres formes. En effet, les angles D3D3D2, DjDsDi doivent être supplémentaires; mais, dans les deux circonférences ayant pour centres Ai, A2, ces angles inscrits et les angles aux centres D2A1D3, D3A2D1 sous-lendent des arcs ayant les mêmes extrémités. On conclut
de là que la somme des angles plans composant les trièdres Ai, Aj du tétraèdre égale quatre droits, ou que , dans le quadrilatère gauche ki A3 A 2 A 4, la somme de deux angles opposés égale celle des autres angles opposés. Observons également que le triangle D'jD', D3 est semblable à AiAiA^; l'angle D'aD'jDi, par exemple, étant égal à la moitié de l'angle au centre D3A1D3 qui, dans la circonférence D3D2D3, sous-tend le même arc.
La combinaison D'i D'j D3 conduit à une sphère inscrite dans le comble Al Al ou dans le comble AjÂ^, suivant que la droite Dj D'^ passe ou non
Fig. 4.
entre les points D3, D3. La somme des angles D3D3D2, D3D3D', est, respecli\ ement, supérieure ou inférieure à deux angles droits et, dans le quadrilatère gauche AiAjAjAv, la somme des angles opposés à la dia-
R. et DE C. — Tr. de Géom. (Il* Partie). 4*
gonale AiAj est, respectivement, inférieure ou supérieure à «elle des angles opposés à la diagonale AsA^.
19. Les deux sphères J'j, Jj disparaissent à l'infini, lorsque les points D'i, D2, D3 sont en ligne droite, ainsi que D'i, Dj, D3. Les deux circonférences Di Dj D3, Di Do D3 {fg. 4) passent maintenant par H4 ; les points J^, J34 sont situés à l'intersection de la circonférence A1A2A3 avec les perpendiculaires abaissées de H4 sur les droites D'jDg, D', Dj, et la droite qui les joint est perpendiculaire au milieu de HtDj et, par suite, parallèle à A2A3.
Les deux triangles D1D2D3, D1D2D3 sont symétriquement semblables à AiAjAs- Le triangle D^D^Dj est équiangle à chacune des faces A2At Av, A3 A4 Ai; donc celles-ci sont égales entre elles, et
AiA2 = A3A4, AiA3 = A<iA4.
Ainsi, deux sphères inscrites dans les combles dispar eussent, lorsque le tétraèdre a deux couples d'arêtes opposées égale,?.
Le parallélipipède circonscrit au tétraèdre AiA2AsAi est droit et a pour base un parallélogramme obliquangle (p. 523, exercice 660). Parmi les trois droites joignant les milieux des arêtes opposées du tétraèdre (ces droites sont appelées médianes du tétraèdre), l'une est perpendiculaire sur les deux autres.
Fig. 5.
20. Les trois sphères J'i, J2, .T3 disparaissent si les trois triples D'i D2 D3, Di D2 D's , D 1 D2 D'3 sont sur trois droites (f/g. 5 ). Alors les arêtes opposées Ao A3 et AiAj, A3 A. cl À^A^, AjAo et AsA^ sont égales, et le? quatre faces du tétraèdre sont égales entre elles. Les points Ai, Aj, .
GÉOMÉTRIE DU TÉTRAÈDRE. ÔSg
sont les milieux des côtés du triangle D', D'jD'j; les points Di, Dj, Dj sont les pieds des hauteurs du même triangle. Les points Ju, ht,, ht, sont les milieux des segments D;Hv, D^Ht, D'3 H4 compris entre les sommets du triangle D\ D2D3 et son orthocentre H4; h est le centre du cercle AjAoAs, hi est l'orthocentre du triangle A1A2A3.
Le tétraèdre particulier que nous venons de considérer a reçu le nom de tétraèdre équifacial. Le parallélipipède circonscrit est rectangle; les trois médianes sont perpendiculaires deux à deux et leur point de concours est à la fois le centre de gravité du tétraèdre, le centre de la sphère circonscrite et celui de la sphère inscrite. D'après ce que l'on a vu plus haut, les points de contact de la sphère inscrite avec les faces sont les centres des cercles circonscrits à ces faces; les points de contact intérieurs des sphères exinscrites sont les orthocentres des faces; enfin, les points de contact extérieurs des sphères exinscrites sont situés sur la sphère circonscrite au tétraèdre. Les centres des sphères exinscrites sont les symétriques des sommets du tétraèdre par rapport au centre de la sphère inscrite; ce sont donc des sommets du parallélépipède circonscrit au tétraèdre.
