Deux angles trièdres sont égaux

1° Lorsqu'ils ont une face égale adjacente à deux angles dièdres égaux chacun à chacun et semblablement disposés:

■?." Lorsqu'ils ont un angle dièdre égal compris entre deux faces égales chacune à chacune et semblablement disposées ;

3" Lorsqu'ils ont leurs faces égales chacune à chacune et semblablement disposées ;

4" Lorsqu'ils ont leurs angles dièdres égaux chacun à chacun et semblablement disposés.

I" Soient les deux trièdres SABC et S'A'B'C {fg. 33o\ Par hypothèse, la face ASB est égale à la face A' S' B', les angles

Fip. 33o.

dièdres SA et S'A' sont égaux entre eux, ainsi que les dièdres SB et S'B'. On suppose en outre (jue la disposition est la même, c'est-à-dire que, si un observateur dont la tête est en S, le dos appuyé sur la face ASB ot le regard dirigé vers SC, a l'arcte SA à sa gauche et l'arôtc SB à sa droite, un autre observateur, dont la tête serait en S', le dos appuyé sur la face A'S'B' et le regard dirigé vers S'C, aurait l'arête S'A' à sa gauche et l'arête S' B' à sa droite.

Dans ces conditions, les deux trièdres sont égaux, c'est à . dire suporposables. En edet, si l'on place la face A'S' B' sur son égale ASB, de façon rjuc S'A' coïncide avec SA et S'B' avec SB,

44 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACK.

l'arêle S'C tombe, par rapport au plan ASB, du même côté que se, sans quoi la disposition des éléments serait diftérente dans les deux trièdres. Alors, les dièdres SA et S'A' étant égaux, le plan A'S'C s'applique sur le plan ASC; de même, les dièdres SB et S'B' étant égaux, le plan B'S'C s'applique sur le plan BSC; donc, enfin, les arêtes S'C et SG se confondent et les deux trièdres coïncident.

2° Le deuxième cas résulte du précédent, dont il est le corrélatif {61^}. ¥^n effet, les deux trièdres supplémentaires des proposés ont une face égale adjacente à deux dièdres respectivement égaux et semblablement disposés; ils sont donc superposables et, par suite, il en est de même des trièdres primitifs.

D'ailleurs, la démonstration directe n'offre aucune difficulté; on voit, par un raisonnement analogue au précédent ( i°), que la superposition est possible, si, conformément à l'hypolbèse, la disposition des éléments est la même.

3° Pour le troisième cas, on pourrait prouver par l'absurde que le dièdre SB, par exemple, est égal au dièdre S'B', en s'appuyant sur le second tbéorème énoncé au n° 569.

Voici d'ailleurs une démonstration directe :

Soient SABC et S'A'B'C les deux trièdres; il suffit évidemment de démontrer l'égalité de deux dièdres bomologues, des dièdres SA et S'A', par exemple.

Supposons d'abord que les deux faces ASB, ASC, qui comprennent le dièdre SA, soient deux angles aigus. En un point quelconque 0 de l'arêle SA, formons {/îg. 33i) l'angle plan

'correspondant à l'angle dièdre SA; en d'autres termes, élevons j)ar le point 0 des perpendiculaires sur SA dans les plans ASB

LIVUH V. — LK PLAN. 45

el ASC; les angles ASB el ASC étant aigus, ces perpendiculaires rencontrent les arêtes SB et SC en deux points M el N que nous joindrons par une ligne droite, l'renons S'O' := SO et construisons de même en 0' Tantale plan M'O'iN' du dièdre S' A'. 11 s'agit de démontrer l'égalité des deux angles plans MON et M'O'N'. Or les deux triangles reolangîesSOM, S'O'M'soiit égaux comme ajanl un côté égal adjacent à deux angles égaux : il en est de même des triangles SON et S'O'N' ; par suite, les deux triangles SMN, S'M'N' ont un angle égal compris entre deux côtés égaux, et enfin les deux triangles OMN, O'M'N' ont les trois côtés égaux chacun à chacun. L'égalité de ces derniers triangles entraîne celle des deux angles MON, M'O'N'.

Supposons en second lieu que les deux angles ASB el ASC, qui comprennent le dièdre SA, soient quelconques, el prenons six longueurs égales SA = SB = SC = S'A' = S'B' = S'C', à partir des sommets, sur les arêtes des deux trièdres {Ji^. 332).

Fig. 332.

Les triangles isocèles ASB et A'S'B', BSC et B'S'C, CSA et CSA' sont égaux deux à deux comme ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux; par suite, les triangles ABC, A'B'C sont égaux comme ayant les trois côtés égaux chacun à chacun. D'après cela, les deux trièdres A et A' ont leurs (acos respectivement égales; d'ailleurs, les angles SAB, SAC, qui comprennent le dièdre AS, sont aigus comme ongles à la hase de triangles isocèles; donc, en vertu du raisonnement fait dans l'alinéa précédent, le dièdre AS est égal au dièdre A'S'.

4° Le dernier cas résulte du précédent dont il est le corrâlatif. En elVet, les deux trièdres supplémentaires des proposés ont leurs faces respectivement égales el semhlahlement disposées; ils sont donc superposables, el, par suite, il en esl do même des Irièdres primitils.

^6 GÉOMÉTKll! UA>S l'eSI'AGU.

SCOLIE

578. Si, dans chacun des quatre cas examinés, la disposition des éléments égaux était différente dans les deux trièdres, il n'y aurait plus égalité, mais seulement symétrie. En effet, soient T et T' les deux trièdres proposés, et ï, le symétrique de T, c'est-à-dire celui que l'on déduit de T en prolongeant ses arêtes au delà du sommet (j^^^-. 33o). Les trièdres ï et ï, ont leurs éléments égaux et inversement disposés; par suite, comme T et T' remplissent par hypothèse toutes les conditions de l'un des cas d'égalité, sauf celle relative à la disposition des parties égales, les trièdres T' et ï, satisferont à toutes les conditions de ce cas d'égalité : ils seront donc superposables; d'où l'on voit que T' est alors superposable au symétrique de T.

579. Nous avons suffisamment signalé dans le courant de ce paragraphe l'analogie entre certaines propriétés des trièdres et des triangles rectilignes. Il importe toutefois d'observer en terminant que, si, à toute propriété des triangles répond une propriété des trièdres, la réciproque n'est pas vraie; par exemple, tandis que l'égalité des angles dièdres de deux trièdres entraîne l'égalité de leurs faces, l'égalité des angles de deux triangles n'entraîne que la proportionnalité des côtés.

§ Vm. — APPENOICB.

QUAt)BlLATt:RE GAUCHE.

H80. On dit qu'un quadrilatère ABCD i^^g. 333) est gnuc/ic\orsque ses quatre côtés ne sont pas dans un même plan. Pour obtenir une pareille figure, il suffit d'assembler deux triangles ABC, ADC, ayant un côté commun AC, de façon que leurs plans ne coïncident pas.

THÉORÈME

581. Quand un plan V rencontre les quatre côtés d'un quadrUatère gauche ABCD en quatre points <-/, h^ c, d [Jig. 333 ), on a la relation segnicntaire

(^ bj^ cC crû (0 TiV,' hC' c\)\l:\ ~ "^ ''