RAPPORT ANHARMOMQUE DE QUATRE PLANS

58i. Il est aisé de voir que, lorsque quatre plans A, B, C, D passent par une même droite, le raj)port anharmonique du faisceau de quatre droites déterminé par un plan transversal quelconipie est indépendant de la position de ce plan transversal. Car les quatre droites (7, b, c , r/, déterminées par un premier plan P, et les quatre droites r/', h\ c\ d\ déterminées par un second plan P', se coupent deux à deux enquartre points a, j5, 7, (î, situés sur l'intersection des deux plans P et P', et le rapport anharmonique des points a, ^, y, rj est égal (321) à celui des droites «, b, c, c/, aussi bien qu'à celui des droites a\ b\ c\ d'.

D'après cela, on donne le nom de rapport anharmonique d'un faisceau de quatre plans passant par une mênve droite à tout rapport anharmonique du faisceau de quatre droites déterminé par un plan transversal quelconque.

fJSS. Lorsque quatre plans passent par une même droite, toute transveisale les rencontre en quatre points dont le rapport anharmonique est égal à celui des (juatre jjlans. Car ces deux rapports ne sont autres que celui du faisceau de quatre droites déterminé par un plan quelconque contenant la transversale (321, 584).

Un faisceau de quatre plans. A, B, C, D, passant par une même droite, est dit Juumoniqur lorsque le rapport anharmonique (A, B, C, D)

LIVHK V. — I.i: l'L\N. 49

de ces quatre plans est égal à— i. Alors, tout plan transversal ou toute sécante détermine un système harmonique de quatre droites oudequatre points.

PROJF.CTION CENTRALE OU PEUSPECTIVE.

b8G. Le théorème du n" 527, relatif à la projection d'une droitesur un plan, subsiste lorsque les projetantes des divers points de la droite sont obliques au plan, pourvu qu'elles soient parallèles entre elles ou qu'elle^ divergent d'un même point de l'espace; car les projetantes sont encore, dans l'un ou l'autre cas, situées toutes dans le plan de l'une d'elles et de la droite que l'on projette.

On est ainsi conduit à étendre le sens du moi projection.

La projection m d'un point M s\ir un plan P est dite orthnaonale, oblique ou ccntnile, suivant que la projetante M/« est perpendiculaire au plan P, ou qu'elle est parallèle à une direction fixe oblique à ce plan, ou enfin qu'elle est issue du point fixe S de l'espace.

La projection orthogonale, oblique ou centrale d'une figure est le lieu des projections orthogonales, obliques ou centrales de ses divers points, en supposant, bien entendu, dans les deux derniers cas, que la direction oblique des projetantes, ou que le centre S de projection, ne change pas quand on passe d'un point à un autre de la figure que l'on projette.

La perspective d'une figure sur un tableau P n'est autre chose que la projection centrale de cette figure sur le plan P, la position de l'œil étant prise pour centre S de projection.

D'après cela, le théorème du n" bSa peut encore être énoncé de la manière suivante :

Lorsfpic (pidtre droites concourantes sont situées dans un nie'nie plan, si Ton construit leur projection orthogonale, ol)li(pie nu centnde, sur un plan (juelcnnque, on obtient quatre droites concourantes dont le rapport anharmonique est égal a celui des (ptalre premières.

Le théorème du n*" 330 relatif aux projections de deux droites parallèles subsiste, ainsi que la démonstration, pour la projection oblique; mais il cesse d'être vrai pour la projection centrale. Nous allons, à cette occasion, donner, sur la projection centrale ou perspective, quelques définitions et quelques principes fondamentaux qu'il est indispensable de connaître.

K87. On nomme droite de front toute droite parallèle au tableau, et plan de front tout plan parallèle au tableau.

On appelle trace d'une droite \) It- point t où elle rencontre le tableau ^ [fig- 335), Gi trace d'un plan la droite suivant laquelle ce plan coupe le tableau. Une droite de front n'a pas de trace, ou plutôt sa trace

K. et DL C. — Tr. de Géoin. (tl" Pailie). 4

GÉOJIÉIRIE DANS l'eSPACE.

esta l'infini; il en est de même d'un plan de front. Quand une droite SF passe par le centre S de projection, sa perspective se réduit à un point./, qui est sa trace. Quand un plan passe par le cenire de projection, tous les points de ce plan ont donc leurs perspectives sur la trace du plan.

On nomme point de fuite d'une droite D non parallèle au tableau la trace /delà parallèle S/ menée à cette droite par le centre S de projection. Quand un point M s'éloigne de plus en plus sur la droite D, la projetante SM de ce point tend vers la position S/, et la perspective m du point M tend vers/; le point de fuite/ d'une droite D est donc la perspective du point à l'infini de cette droite.

Lorsque plusieurs droites D, D', D", . . . , non parallèles au tableau, sotit parallèles entre elles, elles ont le même point de fuite ; leurs perspectives d, d' , d" ,. . . concourent donc en ce point/.

Une droite de front A n'a pas de point de fuite, ou plutôt soD point de fuite est à l'infini ; elle a pour perspective une droite S qui lui est parais lèle, car son plan projetant, passant par une droite A parallèle au tableau, coupole tableau suivant une parallèle o à cette droite. 11 résulte de là que, si plusieurs droites de front sont parallèles^ leurs perspectives sont varallèles.

Fig. 3j5.

Les droites de front, parallèles entre, elles ne sont pas les s-ules droites qui aient leurs perspectives parallèles. Pour que des droites D, D', D", ... {fig. 336) aient leurs perspectives d, d' . d",... parallèles entre elles, il faut et d suffit qu'elles rencontrent une même droite de front SU passant par le centre S de projection. En effet, la condition est nécessaire; car, si les traces d, d', d'\... des plans projetants S /^/ St'd\êt"d" sont parallèles, ces plans se coupent suivant une droite SU parallèle (oOO) à d, d', d", . . . , c'est-à-dire suivant une droite de front qui rencontre chacune des

droites D, D' ,D", La condition est suffisante ; car, si elle est remplie,

les plans projetants SnD, Sa'D', Sa"D",..... passant tous par une niêiiie