LIVRE VI. — LES POLVfeDUES. Cf

lélipipède rectangle AG [Jig. 34o' a pour dimensions les longueurs des arêles AB, AD, AE.

THÉORÈME

397, Les faces opposées d'un parallélipipède sont égales et parallèles.

Soil (fig. 342) le parallélipipède A(j. Ses bases ABCD, EFGH soni, par délinilion, des parallélogrammes égaux el parallèles.

11 faut donc prouver seulement que deux faces latérales opposées, ADHE el BCGF par exemple, remplissent la même condition. Or, AD et BC sont égaux et parallèles comme côtés opposés du parallélogramme ABCD; AE et BF sont aussi égaux et parallèles comme côtés opposés du parallélogramme ABFE. Par suite, les deux angles DAE et CBF sont égaux, et leurs plans sont parallèles. Les deux parallélogrammes ADHE, BCGF sont donc égaux et parallèles.

Corollaires.

o98. Le parallélipipède étant un prisme compris sous six fa'^es parallélogrammes dont les opposées sont égales et parallèles, on peut prendre pour bases d'un parallélipipède deux faces opposées quelconques ( 591 .

599. Tout plan qui rencontre deux faces opposées d'un parallélipipède le coupe suii-ant un parallélogramme. Soit le plan IKLM (Jig. i^'i) qui renronire les deux faces opposées ADIIK et BCGF du p;irallélipipède AG. Les côtés oppobésde b section IKLM étant parallèles comme iuterseclions de deux plans parallèles coupés par un troisième, celle section est uu paiallélogramme.

56 GÉOMÉTRIE DANS I.'eSPACE.

SCOLIE

600. Pour construire un parallélipipède sur trois droites données AB, AD, AE, parlant d'un même point A et non situées dans un même plan \ fîg- 342), il suffit de mener par l'extrémité non commune de chacune de ces droites un plan parallèle au plan des deux auires. Ainsi, par le point E, on conduira un plan parallèle au plan BAD, parle point D un plan parallèle au pian BAE, par le point B un plan parallèle au plan DAE. Le polyèdre compris sous les six plans considérés sera un parallélipipède.

THÉORÈME

601. Druis un parallélipipède, les quatre diagonales se coupent mutuellement en parties égales.

^oit [fg. 343 le parallélipipède AG et ses quatre diagonales AG, CE, BH, DF. Les deux côtés AE et CG étant égaux et parallèles, la figure ACGE est un parallélogramme dont les diagonales AG et CE se coupent mutuellement au point O en parties égales. La figure ABGH étant aussi un parallélogramme, les diagonales AG et BH se coupent mutuellement en parties égales, c'est-à-dire au point 0 milieu de AG. On prouverait de même que la quatrième diagonale DF passe au point 0 et y est divisée en parties égales.

SCOLIBS.

602. On appelle centre d'un parallélipipède le point de rencontre de ses quatre diagonales.

Toute droite KL passant par le point 0 et limitée à la surface du parallélipipède AG {fig. 343) est divisée au point O en deux parties égales. En effet, le plan déterminé par cette

Livnr VI. — LES poivÈPREs. f)7

droite el la diagonale AG coupe les deux faces opposées ADHE et BCGF suivani les parallèles aK el GL; les deux triangles AOK, GOL sont donc égaux.

603. Si le parallélipipède proposé est rectangle, tous les parallélogrammes de la figure deviennent des rectangles. Le parallélogramme ABGH, par exemple, est alors un rectangle, parce que l'aréle AB est perpendiculaire à la face ADHE. Les diagonales d'un rectangle étant égales, les quatre diagonales d'an parallélipipède rectangle sont égales.

60i. Dans l'hypothèse précédente, les triangles HAB, HDA étant rectangles, on a

bh' =3Âb'-âh', âh' = ad + dh' = ad -+- ae\

Par suite,

BÏï' = Âb' -h AÏ)' + ÂË*.

Donc, le carré de la diagonale d'un parallélipipède rectangle est égal à la somme des carrés de ses trois dimensions.

Un cube étant un parallélipipède rectangle dont les dimensions sont égales, le carré de la diagonale d'un cube est égal à trois fois le carré de son arête.

THÉORÈME

605. Les sections faites dans un prisme par deux plans parallèles sont deux polygones égaux.

Fiu. 3.',',.

Soient {/ig. 3.|4) le prisme AU et les sections LMXOP,

58 GÉOMÉTRIIÎ DANS l'esPACE.

QRSTU, faites par deux plans parallèles. Les côtés de ces sections sont deux à deux parallèles comme intersections de deux plans parallèles coupés par un troisième, et égaux comme parallèles comprises entre parallèles. Les deux polygones obtenus ont donc à la fois leurs angles égaux et leurs côtes égaux.

Corollaires.

60G. Lorsque le plan sécant est parallèle à la base du prisme, la section obtenue est égale à cette base.

En supposant les arêtes latérales du prisme prolongées au delà des bases, la démonstration précédente s'applique, que les sections soient intérieures ou extérieures au prisme, et même lorsqu'elles sont en partie intérieures et en partie extérieures. Il suffit que les plans sécants rencontrent toutes les arêtes latérales.

SCOLIE

607. On appelle section droite d'un prisme la section déterminée dans ce prisme par un plan perpendiculaire à ses arêtes latérales.

THÉORÈME

608. L'aire latérale d'un prisme a pour mesure le produit du périmètre de sa section droite par son arête latérale.

Soient (fig- 345) le prisme AH et sa section droite LMNOP. Les côtés de cette section droite sont les hauteurs des parallélogrammes qui forment l'aire latérale du prisme, et ces