LES 1'0LV^;DUES

fis

égal au produit de s;i base par sn liauieur, lorsqu'on prend pour unité de volume le paralh^lipipède rectangle ayant pour base l'unité d'aire quelle qu'elle soit et pour hauteur la longueur prise pour unité de hauteur.

THÉORÈME

62i. Le volume d'un parallélipipède quelconque a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur.

Soit ' fig- 349 le parallélipipède quelconque AG ayant pour base ABCD ou EFGH et pour hauteur la perpendiculaire EP abaissée du sommet E sur le plan ABCD. Menons par le point E, dans le plan EFGH, la perpendiculaire EM à HG. Si

Fis. 3l9-

l'on prend la face AEHD pour base du parallélipipède proposé 'o98j, son arête latérale sera EF, et sa section droite 607) sera le parallélogramme EMQR déterminé par le plan MEP. Le parallélipipède AG sera donc équivalent au parallélipipède droit RK ayant pour base la section droite EMQR et pour hauteur l'arête EF 615 .

Cela posé, reproduisons à part, pour plus de clarté [Jig. 349 ce parallélipipède droit RK, et construisons un parallélipipède rectangle PK ayant pour dimensions EF, EM, EP. Le parallélipipède droit RK et le parallélipipède rectangle PK ainsi déterminé présentent seulement comme parties non communes les deux |)rismes droits qui ont pour hauteur EF et pour bases les deux triangles ég.uix EPU, MVQ. Ces deux prismes étant égaux 613 , les deux parallclipipèdes seront équivalents et, par suite, il en sera de même du paniiléiipipède quelconque AG et du parallélipipède rectangle PK. Donc,

R. et BE C. — Tr. de Géuin. ^.11' l'artiej. 5

GÉOMfiriUl' DAiNS l'uSPACE.

!e produit EF.EM.EP, qui exprime la mesure (621) du paraliélipipède reclangle PK, mesure aussi le volume du parallélipipède quelconque ÂG. Or, EF.EM mesure la base EFGII de ce parallélipipède, elEP esi sa hauteur.

Donc, enfin, le volume du parallélipipède quelconque AG est égal au produit de sa base par sa hauteur.

THÉORÈME

023. Le volume d'un pris/ne quelconque a pour mesure le produit de sa base par sa liauleur.

1" Soit [fig. 35o) le prisme triangulaire ADCEFG. Par l'exirémilé A de l'arête AB, menons le plan ADIIE parallèle à la face BCGF, et par l'extrémité G de l'arête BC le plan CDHG parallèle à la face ABFE; prolongeons en même temps les deux bases du prisme jusqu'à la rencontre de ces plans. On obtiendra ainsi (600) le parallélipipède AG construit sur les trois droites BA, BC, BF. La face ACGE du prisme triangulaire considéré étant un plan diagonal du parallélipipède AG, ce prisme en sera la moitié (616). Donc, le volume du parallélipipède AG ayant pour mesure le produit de sa base ABCD par sa hauteur EP (624), le volume du prisme triangulaire ABCEFG aura pour mesure la moitié de ce produit, c'est-àdire le produit de sa base ABC, moitié du parallélogramme ABCD, par sa hauteur EP.

2° Soit [fig. 35t ) un prisme quelconque ABCDEFGHIK. On le décompose en prismes triangulaires en faisant passer des plans diagonaux par l'arête AF et chacune des arêtes CH, DI. Ces prismes triangulair.'^s ont pour bases les triangles ABC, ACD, ADE, qui composent la base du prisme donné, et leur