VI. — POLYÈDRES SEMBLABLES
DÉFINITIONS
G70. On donne le nom de polyèdres semblables aux polyèdres qui ont leurs angles polyèdres égaux et qui sont compris sous un même nombre do faces semblables chacune à chacune.
L'égalité des angles polyèdres entraîne évidemment l'égalité des angles dièdres homologues.
On appelle homologues les éléments (faces, arêtes, dièdres, etc.) qui se correspondent dans deux polyèdres semblables.
677. Les arêtes liomologues de deux polyèdres semblables sont proporlionnelles.
Car les faces semblables de ces polyèdres ayant le même rapport de similitude, puisqu'une même arête appartient sur chaque polyèdre à deux faces adjacentes, le rapport de deux arêles homologues quelconques est constant.
THÉORÈME
678. En coupant une pyramide par an plan parallèle à la base, on détermine une seconde pyramide semblable à la première.
Soit [fig. 376) la pyramide S.VBCDK, dans laquelle un plan parullèle à la base a déterminé la section F(iinK. l.es deux pyramides SABCDE, SFGHIK ont leurs faces semlilablcs, car
K. cl i)i; C. — Tr. de Géoin. (1I« Pailie'i. 7
98 GÉOMÉTRIE DANS L'eSPACE.
les polygones AKCUE, FGeiiv soni semblables (635), et les faces latérales SAB et SFG, SBC et SGH . . ., le sont aussi par
suite du parallélisme des côtés de ces deux polygones.
Quant aux angles polyèdres, l'angle polyèdre S est commun, et deux angles trièdres homologues, tels que A et F, sont égaux comme ayant un angle dièdre commun compris entre deux faces égales chacune à chacune ei semblablemeni disposées, savoir : l'angle dièdre SA commiin, la face SAB égale à la face SFG et la face SAE égale à la face SFK.
TEÉOREME.
679. Deux priainides triangulaires sont semblables, lorsqu'elles ont un angle dièdre égal compris entre deux faces semblables chacune à chacune et semblablement disposées.
Soient [Jig. 377) les pyramides SABC, S'A'B'C', dans les- (juelles l'angle dièdre SA est égal à l'angle dièdre S'A', et les faces SAB, SAC, semblables aux faces S'A'B', S'A'C, et semblablement placées.
Portons la seconde pyramide sur la première, de manière qu'elles aient môme sommet et que les faces homologues de leurs angles dièdres égaux coïncident. Le triangle S'A'B' étant semblable au triangle SAB et le point A' tombant en D sur SA, S'B' se confondra avec SB, et le point B' viendra en un point E tel, que DE soil parallèle à AI>. De même le triangle S'A'C, étant semblable au triangle SAC, S'C se confondra avec SG,
LlvnF. vr. — LES POI.Vf.DRES.
et le point C viendra en un point F tel, que DF soit parallèle à AC, La base A'B'C occupera donc alors la position DEF, et
son plan sera parallèle au plan de la base ABC ''506). La pyramide SDEF élanl semblable à la pyramide SABC >6T8", il en est de même de la pyramide S' A'B'C qu'elle représente.
THÉORÈME
G80. Deux polyèdres, composés d'un même nombre de tétraèdres semblables chacun à chacun et semblablement disposés, sont semblables.
Fi;;. 378.
Soient {fig. 378) OArsi), OBCI), OCDE, ..., O'A'Si'D', O'B'C'O', O'C'H'E', ... deux séries de tétraèdres ro>pefiivement sen:blal)les et semblablement disposés; le polyèdre formé par les premiers tétraèdres est semblable au polyèdre formé par les seconds.
