L.i eHel

I" Les faces homologues des deux polyèdres sont semblables

iOO GÉOJIÉTRIE DANS l'eSPACE.

comme composées d'un même nombre de triangles semblables et semblablemenl disposés. Considérons, par exemple, la face ABCD du premier polyèdre. Les triangles ABD, BCD, qui la constituent, sont semblables aux triangles A' B'D', B'C D', comme faces homologues de tétraèdres semblables. De pins, les triangles ABD, BCD étant dans un même plan, les angles dièdres OBDA, OBDC des deux tétraèdres OABD, OBCl) sont supplémentaires; il en est donc de même des angles dièdres homologues O'B'D'A', O'B'D'C, des tétraèdres semblables O'A'B'D', O'B'C'D'. Par suit?, les deux triangles A'B'D', B'C'D' sont aussi dans le même plan, et constituent sur le second polyèdre une face A'B'C'D' setriblable à la face ABCD. 2" Les angles polyèdres des deux polyèdres sont égaux comme ayant tous leurs élémonls égaux et semblablement disposés; car les faces homologues des deux polyèdres étant semblables et semblablement disposées, leurs angles polyèdres ont d'abord toutes leurs faces égales chacune à chacune et semblablement disposées. De plus, les angles dièdres homologues de ces angles polyèdres sont égaux, soit comme dièdres homologues de deux tétraèdres semblables, soit comme somme d'angles dièdres égaux. L'angle dièdre BCDE, par exemple, formé par les deux faces ABCD, CDE du premier polyèdre, est la somme des deux angles dièdres BCDO, ECDO, qui appartiennent aux deux tétraèdres OBCD, OCDE; el l'angle dièdre B'C'D'E', formé par les deux faces A'B'C'D', C'D'E' du second polyèdre, est la somme des deux angles dièdres homologues B'C'D'O', E'C'D'O', qui appartiennent aux deux tétraèdres semblables O'B'C'D', 0' C'D'E'.

681. Réciproquement, deux polyèdres semblables peuvent être décomposés en un même nombre de tétraèdres semblables et semblablement disj>osés.

Soit [Jif;-. 379) un point 0 pris dans l'intérieur du premier polyèdre; décomposons-le en télraèdres en prenant le point 0 pour centre de décomposition (64-6), el soit OABC l'un des tétraèdres obtenus. Les points A, B, C, ayant pour homologues sur le second polyèdre les points A', B', C, menons un plan O'A'B' faisant au-dessus de A'B'C un angle dièdre

LIVUF. VI. — I.r? POI.YftDRES.

éf^al à celui que Corme le plan AOB au-dessus de ABC, eidans ce plan O'A'H' construisons le triangle O'A'B' semblable au

FiiT- 379.

triangle OAB. En prenant le point 0' pour centre de décomposition, on décompose donc le second pol vèdre en léiraèdrcs, qui correspondent à ceux du premier polyèdre, et il reste seulement à prouver que ces tétraèdres sont semblables deux à deux.

SoilD un quatrième sommet du premier polyèdre, tel que les deux triangles ABC, ABD aient un côté commun et soient situés sur la même face ou sur deux faces adjacentes. Comparons les deux tétraèdres OABD, O'A'B' D'. Les faces OAB, O'A'B' sont semblables comme faces homologues des deux tétraèdres semblables OABCO'A'B'C; les faces ABD, A'B'IV le sont aussi comme triangles homologues de deux faces semblables des polyèdres donnés. Do plus, si les deux triangles ABC, ABD sont dans un même plan, les deux dièdres OAIU), O'A'B'D' sont égaux comme suppléments des angles dièdres égaux OABC, O'A'B'C; si les deux triangles ABC, ABD ne sont pas dans un même plan, les deux angles dièdres OABi), O'A'B'D' soiii encore égaux comme différences des angles dièdreségaux.DABCeiOABC d'une pan, D'A'B'C etO'A'B'C al'auire part. Dans les deux cas, les tétraèdres OABI), O'A'B' ]>' sont semblables 1^079,.

La même démonstration s'appli<|uera de proche en proche. La similitude des deux tétraèdres coiisid(*rés en deiiiier lii'ii [jermettra toujours de vérifier la similitude des deux tétraèdres suivants.

I02 ' GÉOMÉTRIE DANS l'kSPACE.

SCOLIE

682. Deux poiiUs O et 0' i-apportés à deux polyèdres semblables sont dits liomologues, lorsqu'en joignant l'un d'eux 0 aux sommets consécutifs A, B, C de l'un des polyèdres, et l'autre 0' aux sommets homologues A', IÎ',C' de l'autre polyèdre, on obtient deux tétraèdres Ox\BC, O' A' B' C semblables et semblablement disposés par rapport aux deux polyèdres.

Il résulte de la démonstration précédente que deux points homologues quelconques peuvent être pris pour centres de décomposition de deux polyèdres semblables, en tétraèdres semblables et semblablement disposés.

Si le point 0 est extérieur au premier polyèdre, son homologue 0' est aussi extérieur au second polyèdre; il faut alors considérer les deux polyèdres comme composés de tétraèdres additifs et de tétraèdres soustraclifs.

Si le point 0 coïncide avec l'un des sommets A du premier polyèdre, son homologue 0' coïncide avec le sommet A' du second polyèdre, et les diagonales homologues des deux polyèdres, relatives aux sommets A et A', se confondent avec les arêtes latérales de leurs tétraèdres homologues.

083. Deux droites rapportées à deux polyèdres semblables sont diies homologues, lorsque leurs extrémités sont deux à deux des points homologues. Telles sont, par exemple, les diagonales relatives à des sommets homologues.

Le rapport de deux droites homologues quelconques est égal au rapport de similitude des faces homologues des deux polyèdres.

Soient [Jig.ZQo] ABCDE, A'B'C'D'E' deux faces homologues quelconques des polyèdres donnés, ot FH, F H' deux droites homologues quelconques. Formons les tétraèdres homologues FABC, F'A'B'C, HABC, H' A'B'C. La similitude de ces tétraèdres entraîne celle des tétraèdres FHAC, F'H'A'C En effet, les faces FAC, HAC sont respectivement semblables aux faces F'A'C, H'A'C, et l'angle dièdre FACH, différence des angles dièdres FACB, HACB, est égal à l'angle dièdre

IITHE VI. — LES POLYÈDRES. îOO

F'A'C'ir, différence des angles dièdres égaux F'A'C'B',

Fie. 38o.

H'A'C'P.'. Les deux tétraèdres FHAC, F'H'A'C étant semblables, on a G77)