LIVRE VI — LES POLYÈDRES
figure F, sa droite limite I ainsi que le centre 0 et l'axe X d'homologie; m étant [Jig. Sgg) un point quelconque de F, on mènera par ni une
Fif;. 3c)().
droite quelcomiue im\ on joindra le centre O au point / où cette droite coupe I, et par le i)oint t où cette même droite coupe X on mènera la parallèle à 0/; cette parallèle, qui est évidemment l'homologue de la droite £/«/, rencontrera le rayon Oui au point demandé m'. On lit immédiatement sur la figure la relation
Ow ini
1)1 ni îPi
d'où l'on déduit les deux formules
Oui =11 1 m 111 = Uni — ri
/m lin
qui nous seront utiles plus tard. La seconde de ces formules a été donnée, en 1704, par le géomètre belge Le Poivre qui, comme de la Hiro et Newton, avait étudié quelques cas particuliers de la transformation homologique, bien avant que Poncelet eût créé la théorie complète de ces figures.
7:51. Qiuiiid deux fleures sont h(>iiinloij;i(iii('s : 1° le nipport cuiluinnonifjtte de qiuitre points en lii^ne droite, et, h. c, d, est c^eil au idpport anharmoniquc des ipiatre points homologues 11' , /;', c' , d' ; car ces rap(iorts sont égaux l'un et l'^iutre à celui du faisceau Ona\ Obh' , Occ', Odd'; 2" le rnpport on/ui/nio//ifjue d'un faiscenu SA, SB, SC, SD de quatre droites est égal au rapport anluirnioniepie du jaisceau formé par les quatre droites lioniologues S'A', S'B', S'C',S'D'; car les rayons homologues des deux faisceaux se croisant sur l'axe d'homologie, les rapports anharmoniques considérés sont égaux à celui de la section commune faite par l'axe d'homologie.
732. Cotisidi'ions deux figures hou-.ologiques; soient [/ig- 3f)6) 0 le centre et X l'axe d'homologie, [a, a') et (///, m') deux couples de points
î34 QÉOiWÉUllE HANS l'eSPACÏ,
homologues, y. et x les poinls où les rayong Ofu»i' et Ona' coupent l'axe X, et s le point de concours de am et de «'/«'. Le faisceau (sO, =«, sX, sr/' ) étant coupé par les deux transversales Onini', Oaa', on a
wO ^ ni'O ^ (f'O m y. m' [j. a y. ' n'y.
Le rapport anhnrinoni(iuc {O'j.duh') a donc une vnlcur constante ; on donne à cette constante, que nous désignerons par )., le nom de coefficient d' homoln^ie .
^ La réciproque de cette proposition est vraie, et elle conduit à une nouvelle définition des figures homologiques :
Etant donnés ilans un plan un point fixe 0 et une droite fixe X {fK' ^9^)i ^^ '^"'' (^l('"^l't(' rayon Ou- on prend deux points ni et /«' tels que le rapport ((nharnionicjui' [Oy-nnii'] ait une valeur constante "/, les points m et m' tlécrivent deux figures homologiques.
En effet, par la définition même, deux poinls homologues quelconques m et /;/ sont en ligne droite avec le point fixe 0; il suffit donc de prouver que, si le point /;/ décrit une droite at, le point m' décrit à son tour une droite coupant l'axe X au même point s que la première. Or, menons par le point 0 une droite quelconque, et désignons par a, a, a' les points où elle rencontre les droites ?/«, sX, s m': le faisceau (sO, sw, eX, cm') étant coupé par les deux transversales Ou., 0 a, les rapports anharmoniques {Otimm') [Ouaa') seront égaux; le second aura donc comme le premier la valeur A; donc le point r/, qui est situé sur «/«', sera la position que prend m' quand /«vient en a.
La constante ^^ est égale an rapport des distances de la droite limite I au centre et à Vaxe d'Iiomologie. Car, en désignant par c et 7 les projections orthogonales du centre 0 sur les droites I et X, et appliquant le théorème précédent au système formé par les quatre points 0, 7, c et c\ le dernier étant à l'infini, on a
rO co'O . cO ,
— : — — = A, ou — = A.
fy ce 7 c'f
On voit de même que le rapport des distances de la droite limite J' au
centre et à l'axe d'homologie est égal à -•
Quand la constante / est égale à — i, les deux droites limites coïncident avec la droite unique qui est équidistante du centre et de l'axe d'Iiomologie ; ce genre particulier d'homologie prend le nom iV/ioniologie /uirmo/iiijue.
LIVKE VI. — LES fOLVfeDRES. ï 35
Quanrl l'axe d'iiomologie est à l'inlini, le rapport anhantioiiiqiie
\{jy.//!m I se réduit a —7-, et la relation //< U
montre que Vhomolo^ie devient homothèiw; le point 0 est le centre do similitude, et / est le rapport de similitude. Enfin, si c'est au contraire le centre d'iiomologie qui est à l'infini, le
rapport anharmonique (Oy./»w') se réduit à — '--, et la relation
ni u. -
m'ik ~
montre que la seconde figure résulte de la première en dilatant dans un rap|)ort constant les ordonnées abaissées de ses divers points sur ra.\e fixe X dans une direction donnée ; quelques géomètres donnent à ce genre d'homologie, qui se présente fréquemment, le nom (^affinité.
733. Nous terminerons par un théorème très important tant au point de vue théorique qu'au point de vue des applications; d'une part, il montre la concordance entre l'horaologie et la perspective; d'autre part, il intervient fort utilement, en géométrie descriptive, pour la solution du problème des rabattements et des questions relatives au.\ sections planes des prismes et des pyramides, des cônes et des cylindres.
Ounnd deux p gares pleines F et F' sont en perspective, leurs projections sur un plan quelconque \\, à l'aide d'un centre de projection quelconque o), sont deux figures Iiomologiques ; le centre d'iiomologie est la projection o du point de vue V, et l'axe d'iiomologie est la projection Ui de l'intersection LLi des plans P et P' des doux figures.
La dcmonslrai.ion est presque intuiiive :
En effet : d'abord, à chaque point m de la figure / répond évidemment un point unique m' do la figure/, et la droite mm' passe par o puisque les points correspondants M et AI' des figures F et F' sont en ligne droite avec V. En second lieu, à une droite (pielconque d do la figure f répond évidemment une droite et une seule ff de la figuic.r, et le point de concours de d et de ^ est sur Iti puisque les droites correspondantes D et D' des figures F et F' se croisent sur LL,.
La réciproque exige plus d'attention :
Deux figures homologiqucs fet f peuvent, d'une infnité de manières, être considérées comme la projection sur leur plan 11 de deux figures planes V et F' qui sont en perspective {fig. 4oo).
l36 GÉOMÉTRIE DANS L'eSPACE.
En effet, soil w un point pris à volonté dans l'espace, et o le centre d'homologie de y' et de/'; dans le plan Q déterminé par id et par l'axe d'homologie Ui des figures /et/', choisissons arbitrairement une droite LLi; imaginons par cette droite deux plans P et P' et appelons G et G' les points où ces plans coupent la droite tjio. Enfin, désignons respectivement par F et F' les figures qu'on obtient en projetant, du point w comme centre, les figures /et/', la première sur le plan P, la seconde sur le plan P'. Tout se réduit à démontrer que les figures F et F' sont
Fig. 4oo.
en perspective; en d'autres termes, si M et M' sont les points de F et F' situés sur les projetantes wm, tom' de deux points homologues quelconques m et m' de / et de/', il suffît de prouver que la droite MM' passe par un point fixe. Or, soit \s. le point où mm' coupe lli, fJ^i le point où i3i\x. coupe LLi et I et V les points où MM' rencontre m\l et coo. Le rapport anharmonique de la division \iomni' est constant et égal au rapport d'homologie des figures /et/'; mais ce rapport anharmonique est égal à celui de la division IVWM' et, par suite, égal aussi à celui de la division (oVGG' qu'on obtient en projetant la précédente du point \i.i sur ow. D'ailleurs, les points w, G et G' sont fixes; donc il en est de même du point V. C.Q.F.D.
Un cas particulier intéressant est celui où F et F' sont deux positions d'une même figure qui tourne autour d'une droite de son plan; dans ce cas, F et F' sont, en effet, en perspective, le point de vue V étant à l'infini dans la direction perpendiculaire au plan bissecteur du dièdre formé par les plans de F et de F'. Enfin, si l'on choisit alors pour plan de projection le plan de la figure F', /' ne différera pas de F'; ce qui montre aue la projection f d'une f gare F et son rabattement F' sont homologiques, et inversement.
