LIVRE VII. — LES COUPS RONDS. ïSp

ce que A'C vienne, en restant sur la surface cylindrique, se confondre avec AC. Cela étant, soit BB' une courbe quelconque tracée sur la surface cylindrique; la sécante BB', qui unit les points B el B' où la courbe rencontre les génératrices ACetA'C, reste constamment dans le plan variable ACA'C'} d'ailleurs, cette sécante devient la tangente BN à la courbe BB', lorsque la génératrice mobile A'C vient se confondre avec AC, c'est-à-dire lorsque le plan variable ACA'C atteint sa position limite; donc ce plan limite contient la tangente BN. Ainsi, le plan limite considéré renferme les tangentes à toutes les courbes que l'on peut tracer sur la surface, aux points où ces courbes rencontrent la génératrice AC; on lui donne le nom de plan tangent suivant la génératrice AC.

La génératrice AC, et la tangente à une courbe quelconque tracée sur la surface au point où celle courbe rencontre AC, suffisent pour déterminer le plan langent suivant cette génératrice. Si l'on choisit en particulier la tangente AM à la section droite AA', on voit que le plan tangent est perpendiculaire au plan déterminé par l'axe et par la génératrice de cont((Ct; en effet, le plan tangent renferme la droite AM qui, étant à angle droit sur AO et sur AC, est perpendiculaire à leur plan CAOX.

738. On appelle cylindre de révolution le corps compris entre une surface cylindrique et deux plans perpendiculaires à l'axe de cette surface, ou, en d'autres termes, la ligure engendrée par la rotation d'un rectangle AA'O'O autour d'un de ses côtés 00' {Jig. 4^4 )•

Fi[(. /|o'|. Kij. /)o5.

La surface cylindrique engendrée par le cùi('' AA' est \\ surface latérale du cylindre; les cercles décrits par les cùlés

l4o GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.

OA et 0' A' en sont les bases, ei la droite 00' en est la hau" leur:

739. En construisant un prisme droit, de même hauteur que le cylindre, et ayant pour base un polygone inscrit ou circonscrit au cercle de base du cylindre, on obtient un prisme inscrit ou circonscrit au cylindre [fi^. 4^5 ). Le plan de chaque face latérale du prisme circonscrit est langent au cylindre (737). Si le polygone inscrit ou circonscrit au cercle de base est régulier, le prisme inscrit ou circonscrit au cylindre est régulier.

Considérons un cylindre de révolution et un prisme régulier inscrit. L'aire latérale du prisme s'obtient en multipliant le périmètre de sa base par sa hauteur (009). Or, quand on fait croître indéfiniment le nombre des côtés du polygone de base, le périmètre de ce polygone tend vers une limite fixe et indépendante de la loi suivant laquelle ses côtés tendent vers zéro; d'ailleurs, la hauteur du prisme reste constamment égale à la hauteur du cylindre. Donc l'aire latérale du prisme inscrit tend vers une limite fixe indépendante de la loi suivant laquelle les côtés de sa base tendent vers zéro : c''est cette limite (jne l'on appelle Paire latérale du cylindre.

Considérons en second lieu un cylindre de révolution et deux prismes réguliers de bases semblables, l'un inscrit, l'autre circonscrit au cylindre {fi^. 4o5). Le volume du cylindre est compris entre les volumes des deux prismes. Or, ces deux prismes ont même hauteur, et le rapport des aires de leurs bases a pour limile l'unité (447), lorsque le nombre commun de leurs côtés croit indéfiniment; par suite, le rapport des volumes des deux prismes tend vers l'unité, et il en est de même a fortiori du rapport du volume du cylindre au volume de l'un quelconque de ces prismes. Donc le volume d'un cylindre de révolution est la limite commune des volumes des prismes réguliers de bases semblables, inscrit et circonscrit, dont on fait croître indéfiniment le nombre des faces.

Il importe de remarquer que ce dernier énoncé est un véritable théorème, tandis que l'énoncé de l'alinéa précédent relatif à l'aire n'est qu'une définition.

7i0. Deux cylindres de révolution sox\\.à^\'s, semblables, lorsqu'ils sont engendrés par des rectangles semblables, c'està-dire lorsque leurs hauteurs sont entre elles comme les rayons de leurs bases.

T.lVnE Ml. — LES COUPS KO.MiS. l4l

THÉORÈME

741. L'aire latérale d'un cylindre de réi'oludon a pour mesure le produit de la circonférence de sa buse par sa hauteur.

L';iire latérale du cylindre est la limite des aires latérales des prismes réguliers inscrits dont le nombre des faces croît indéfiniment. D'apràscela, soient S, C, H l'aire latérale, la circonférence de base et la hauteur du cylindre considéré; soient s eip l'aire latérale et le périmètre de la base d'un prisme régulier inscrit. On a (609)

Lorsqu'on fait croître indéfiniment le nombre des côtés de la base du prisme, s tend vers S et /> vers G; on a donc, à la limite,

Corollaires.

742. Si K est le rayon du cylindre, on a C = 27:Rel, par suite,

S = 27-RB.

En ajoutant à celle aire latérale lés aires des deux bases ou le double ^ tt R' de l'aire de l'une d'elles, on obtient, pour l'aire totale ï du cylindre,