CONSTRUCTION DE FIGURES SUR LE TERRAIN

100 . PREMIÈRE QUESTION. — Un côté d’un triangle étant donné sur le terrain, et la grandeur des deux autres étant connue , construire le triangle.

SOLUTION. Soient AB le côté donné sur le terrain, CD, EF les longueurs des deux autres côtés du triangle. Premier cas. Si ces côtés ne sont pas trop grands, on fixera en A l’extrémité d’une corde prise égale à CD; en B, l’extrémité d’une autre corde égale à EF. On joindra les deux bouts de ces cordes, et l’on s’écartera de AB jusqu’à ce que toutes deux soient tendues. Au point de réunion L de ces cordes , on plantera un piquet ; ce sera le troisième sommet du triangle. Cela revient à décrire, quand on peut commodément le faire , deux arcs de cercle : l’un du point A comme centre, avec un rayon égal à CD; l’autre du point B comme centre, avec un rayon égal à EF ; et à marquer le point L d’intersection de ces deu< arcs comme le sommet demandé

ifig- 70)'

DEUXIÈME CAS. — Si les côtés donnés ont trop d’étendue pour être construits comme nous venons de l’indiquer, on pourra substituer aux trois côtés donnés trois lignes qui leur soient proportionnelles, qui en soient, par exemple, le j, le ; construire

en ACD un triangle par le moyen précédent; Al) sera déjà dans l’alignement d’un des côtés; on construira le même triangle en BIP. et BI sera la direction du troisième côté. Au moyen des alignements AD, BI, on déterminera le point de rencontre L des droites AD, BI, et l’on aura le triangle demandé ALB(/(/. 71).

PREMIÈRE REMARQUE. — On suppose qu’on sait si le sommet du triangle est au-delà ou en-deçà de AB, et lequel des deux côtés doit aboutir au point A.

DEUXIÈME REMARQUE. — Si l’on donnait le seul côté AB aveola condition que le triangle fût équilatéral, la construction serait la même, en observant que les côtés AL, BL doivent être égaux au côté piqueté AB.

101 . DEUXIÈME QUESTION. — Tracer sur le terrain un triangle dont un côté est piqueté, un second côté devant être d’une longueur connue et comprendre avec le premier un angle donné.

SOLUTION. — Soit AB le côté piqueté , soit F l angle dont le sommet doit être en A ; on fera d’après l’une des méthodes données un angle égal à l’angle F, et, après avoir déterminé l’alignement AG, on mesurera ime ligne AC égale au second côté donné soit sur le terrain comme DE ou en unités de longueur, par exemple en mètres. On tracera l’alignement CB, on aura le tiiangle demandé. Si l’angle était donné en degrés, il faudrait faire usage d’un instrument tel

que le goniasmomètre , ou tout autre propre à inesu-* rer les angles {fig. 72 ).

102. TROISIÈME QUESTION. — Un côté d’un triangle étant donné et les deux angles qui doivent lui être adjacents étant connus, construire le triangle.

SOLUTION. — Soit AC le côté piqueté; on formera en B et en A des alignements AC et BG , de manière à avoir les angles A et B égaux aux angles donnés. On déterminera le point de rencontre G de ces alignements, et ABC sera le triangle demandé {fig. 78 ).

103. QUATRIÈME QUESTION. — Tracer un carré dont le côté AB est donné et piqueté.

SOLUTION. — Par une des méthodes données, on mènera des perpendiculaires AD, BG, on mesurera des longueurs égales à AB; on tracera la ligne DG, on aima le carré demandé {fig.

REMARQUE. — Après avoir mené la perpendiculaire AD au côté AB , on peut fixer en D et B les extrémités de deux cordes chacune égale à AB, puis les réunir en un point G qui sera le sommet du quatrième angle du carré.

104. CINQUIÈME QUESTION. — Tracer un rectangle dont im côté AB est piqueté et l’autre est donné et doit être égal à EF.

SOLUTION. — On formera encore en A et B des alignements perpendiculaires au côté AB; on prendra sur ces perpendiculaires des longueurs AD, BG

égales chacune à EF , on tracera DG , on aura le rectangle ABGD demandé (y?ÿ. tS).

105. SIXIÈME QUESTION. — Tracer un parallélogramme dont un côté AB est piqueté, l’autre côté est d’une grandeur donnée IK , et l’angle entre ces côtés doit être égal à l’angle M.

SOLUTION. — On formera en A un angle égal à l’angle donné M , et sur l’alignement AD , on mesurera AD = IK ; par le point D on mènera une parallèle à AB, et par le point B une parallèle à AD ; le point d’intersection de ces deux alignements sera le quatrième sommet du parallélogramme demandé {fig. 76 ).

PREMIÈRE REMARQUE. — Si la longueur des côtés n’est pas trop considérable, on fixera en D une , corde d’une longueur égale à AB , et en B une corde égale à AD; le point de réunion des deux autres bouts de ces deux cordes tendues déterminera le point G , sommet opposé au sommet A. Gette remarque s’applique au rectangle.

Autrement on déterminera le milieu O de BD , et, sur le prolongement de AO, on prendra OG égal à OA ; le point G sera le sommet cherché.

SECONDE REMARQUE. — On Construirait de même un losange, si l’angle M étant donné, les deux autres côtés contigus AB, AD, devaient être égaux.

106. SEPTIÈME QUESTION. — Tracer un hexagone régulier dont un côté AB est piqueté.

SOLUTION. — On construira un triangle équilatéral AOB sur le côté piqueté AB ; on fera cette construction sur la partie du terrain qui doit contenir l’hexagone. On construira ensuite, sur les côtés AO, BO, de nouveaux triangles équilatéraux AOF, OBC , puis sur FO et OC, les triangles FOE, DOC; on joindra le point E au point D par une droite ED, qui devra être égale à EO si la construction est bien faite {fig. 77). ^

REMARQUE. — Si l’on peut aisément tracer un cercle , on déterminera le sommet O du triangle équilatéral ABO; du point O comme centre, avec un rayon égal à OB ou AB, on décrira une circonférence de cercle ; on portera la longueur AB six fois de suite comme corde sur cette circonférence , en décrivant du point B, avec la longueur AB, un arc qui coupe la circonférence en G, et déterminant successivement, de la même manière, les points D, E, F, si la construction est bien faite, la circonférence doit être complètement soutendue par ces six cordes.

i07. HUITIÈME QUESTION. — Tracer un polygone • irrégulier dont un côté est piqueté ; les diagonales et les auti'es côtés étant indiqués sur un plan.

SOLUTION. — Soient AB le côté piqueté, ABGDE le plan coté sur AB dont la longueur effective est de 11 mètres. On construira un triangle dont les deux autres côtés soient respectivement de 3 i mètres et

— ai-

de 1 1 mètres, comme l’indique le plan; puis sur AC on formera le triangle ADC du plan , avec les côtés AD, CD égaiu à 36“,20 et a6“,io; enfin, sur AD et Ævec les côtés égaux à 26 mètres et à 28“’,5 , comme l’indique le triangle AED du plan, on fera le triangle AED; on aura les sommets A, B, G, D, E du polygone demandé {fig. 78).

108 . NEUVIÈME QUESTION. — Par trois points A, B, C, piquetés, faire passer une circonférence. On suppose que ces trois points ne sont pas en ligne droite, autrement le problème serait impossible.

SOLUTION. — On déterminera le milieu D, K des droites AB, BG qui joignent ces trois points de deux à deux ; on mènera une perpendiculaire à la droite AB au point D ; une autre à la droite BG au point K ; on marquera le point de rencontre O de ces droites ; ce sera le centre du cercle cherché. On tracera le cercle du point O comme centre et avec un rayon égal à la distance OA par la méthode indiquée précédemment, et l’on placera de distance en distance des piquets sur la circonférence {fig. 79).

REMARQUE. — Si la circonférence doit avoir un rayon trop grand pour être ainsi tracée , on pourra en chercher différents points avec un instrument propre à mesurer les angles comme le gouiasmomètre, et l’on opérera ainsi ; On se placera à l’un des points extrêmes A ou G , en A , par exemple ; on prendra avec l’instrument l’angle BAG ;

on se promènera sur le terrain en cherchant des points d’où , sous l’angle que donne à présent l’instrument, on puisse voir les points B, G; de sorte que si l’on se trouvait en E ou en I , c’est-à-dire sr l’angle formé par l’instrument, et qu’on ne peut changer, se trouvait trop grand ou trop petit pour qu’on ne pût voir à la fois ces deux points, on se rapprocherait ou l’on s’éloignerait de AC, jusqu’à ce que l’on rencontrât un point E d’où l’on vît les deux points B et G , sous l’angle trouvé ; ce sera un des pohits de la circonférence. On le piquetera et l’on pourra en déterminer ainsi successivement autant qn’on jugera indispensable d’en avoir.