CHAPITRE PREMIER

SUR LA COURBURE ET LES Dl^YELOPPI^ES DES LIGNES COURBES.

649. Une courbe et sa tangente, qui n'ont en general qu'un seul element de commun, sont dites avoir entre elles un contact dn premier - ordre ; mais, comme dans certaines questions on a besoin de considerer deslignes qui approchent de se confondre avec la courbe propos^e, plus que ne le fait la tangente, il est necessaire dedistinguerces rapprochements plus ou moins intimes, et Ton dit que deuxcourbes quelconques^ planes ou non, offrent un contact du premier, second, troisi£:me, ... ORDRE, selon qu' elles ont UN, deux, trois, . • . £l6ments consdcutifs de communs,

650. [Fig^ lag.) Comme le contact du second ordre se presentera tres-frequemment dans les applications geometriques, nous le designerons souvent par le nom abrege d' osculation ; ainsi deux courbes oscuiatrices seront celles qui auront deux dements communs. Pour en donner un exemple, qui nous deviendra fort utile par la suite, consid^rons une courbe quelconque AMB; et, aprfes Tavoir partagee en elements egaux (*), elevons, sur les milieux de MM' et M'M", deux normales KO et K'Osituees dans leplanMM!M\ lequel ne contiendra les autres elements de AMB qu'autant que cette courbe sera plane. Alors le point 0, ou ces deux normales se couperont, sera le centre d'un cercle aMS, qui passera ^videmment par les trois

(*) Si ces 6l4ment8 6taient in^gaux, mais toujours iuliniment petits, les mdmes coDs^uences subsisteraient, comme le calcul le prouve ais^ment. Toutefois, pour abr^r les demonstrations, il est plus simple de supposer qu'on a choisi des elements ^auz, ce qui est toujours permis. Yoyez VAnafyse appUquee, chap. XVI, u» 35i.

26a UVBE VIII. — GOURBUKB DBS LIGNES ET DES SURFACES*

points M, M', M". et aura ainsi deux elements MM' et M'M" communs avec AMB; te sera, par consequent, le cercle osculateur de cette courbe pour le point M. Le rayon de ce cercle sera Tune des trois distances egales OM, OM', OM'' ; mais on peut adopter en place Tune des deux normales egales OK et OK', parce que la difTerence n'est qu'un infiniment petit du second ordre {voyez n** 197).

631. On.voit par la que le cercle osculateur est unique pour chaque point M assigne par la courbe AMB, tandis qu'il existe une infinite de cercles simplement tangents dans ce point; mais le cercle osculateur variera de position et de grandeur en passant aux points M', M",..., puisque alors il faudra operer semblablement sur les deux elements consecutifs M'M" et M"M'% M"M'' et M"M"',..., ce qui changera le rayon KO en K'O', K"0",.... Nous examinerons tout k Theure (n*^ 656) si ces rayons se coupent consecutivement.

652. Le plan du cercle osculateur, qui n'est autre que celui de deux Elements consecutifs MM' et M'M", ou de deui^ tangentes infiniment voisines MX et M'T', se aomme aus^i \eplan osculateur de la. courbe AMB pour le point M; et, a moins que cette dernierene soit plane, ce plan osculateur variera en passant d'un point a un autre de AMB. D'ailleurs, deux plans oscalateurs consecutifs TM'T' et R'M"!" se couperont toujours suivant I'element intermediaire M'M".

653. {Fig. 129.) Quant a la courbure de la ligne AMB au point M, nous avons deja dit (n** 198) qu'elle 6tait indiqu^e par Tangle TM'T compris entre deux tangentes infiniment voisines, parce que cet angle, nomme angle de contingence ou de courburey exprime evidemment la quantite dont i( a faUu ecarter T^lemenl! M'M" de sa direction primitive M'T, pour plier la ligne droite MM'T suivant la Kgne polygonale MM'M"M''... (*). Or Tangle TM'T' 6gale tOt!\ et comme ce dernier a pour mesure Tare £ d6crit avec un rayon egal k I'unite, tandis qu'il corhpi^end un arc KM'K' du cercle osculateur dont le rayon est OK = p, on aura pour Texpressioti de la courbure au point M,

KM^MKM;rf ^■" OK ~^Mr'^p*

Mais la courbe ayant ete divisee en elements egaux, la quantite ds sera constante pour tous ses points; et Ton pourra dire que la courbure varie, d'un point a un auire» en raison inverse du rayon OK = p qui, pour cette rj^ison, se nomme aussi le rayon de courbure de la courbe au point M.

Observons toutefois que, pour avoir la mesure exacte de la courbure d'une ligne, et pour rendre cette mesure applicable k deux courbes differentes dans lesquelles les elements, quoique infiniment petits, pourraient se trouver in^gaux de Tune a I'autre, et meme avoir un rapport d^termin6 et n^cessaire, il faut considerer, non pas la grandeur absolue de Tangle de contingence e, mais bien son rapport avec

(* ) n est bon d'observer que Tangle de contingence TM'T' est aussi ^gal a Tangle de deux plans normaux consteutifs, puisque ces plans seraient perpendicuiaires sur les milieux des deux ^l^ments MM' et ii'VL'.

CHAP1TRE I. — €OURBURE ET D1&VELOPPEES DES LIGNRS. af>3

r^lement ds; parce que c'est seulement sur deux arcs de mime longueur, que Tangle exterieur des tangentes extremes peut manifester, avec precision, la courbure plus ou moins prononcee de Tun de ces arcs par rapport a Tautre. Par exemple, dans deux cercles concentriques dont les rayons seraient doubles et les circonferences divisecs chacune en un meme nombre d^elements egaux, les angles de contingence correspondants aux memes rayons seraient 6gaux, et cependant la courbure des deux cercles serait 6videmment differente; raais, si Ton fait attention que les elements de la grande circonference ont une longueur double de ceux de la seconde,

on reconnaitra que le rapport t- indique effectivement une courbure nioitie plus

faible pour le grand cerde que pour le petit. II suit done de la que la veritable mesure de la courbure d'une Hgne quelconque sera toujours donnee par le rapport

:r ou ->

ds p

p d^signant le raypn du cercle psculateur de la courbe, au poiat consider^.

6£^4. Tout ce qui precede convient egalement aux coxwhes planes et aux courbes ga.uches etcambrees : nous nous servons ici 4e cette derniere expression, au lieu de courbe a double courbure, tant pour abreger que pour eviter Teaiploi du.mot courbure dans un sens inexact ou ambigu. En efiet, nous pensons avec M. Yall^e que quand une courbe n*est point plane, elle n'admet encore qu'une seule courbure qui s'estime comnie au numero precedent; mais elle offre en outre une cambrure ou espece de torsion qui a ^te produite en faisant tourner Tun des deux plans osculateurs consecutifs TM'T' et T'M"T", autour de Felement commun M'M" : de sorte que dans une courbe gauche, la torsion ou la cambrure est indiquee en chaque point par I'angle des deux plans osculateurs voisins. Or, si Ton rendait nul cet angle, en rabattant le plan T'M'T' sur XMT, par une rotation autour de la droite M'M", la torsion disparaitrait et la courbe deviendrait/^/ane dans les environs du point considere, sans que sa courbure eAt augmente ou diminud, puisque les angles de contingence TM'T' et T'M"T" seraient demeures constants; au contraire, sans rien changer dans la position de cqs deux plans osculateurs^ ou dans la cambrure de la courbe, on peut alterer sa courbure en ecartant ou rapprochant les deux elements MM' et M'M". Par consequent, ./a courbure d'une ligne et sa cambrure sont des affections independantes Tune de rautre* et qu'il convient de designer par des noms distincts, mais analogues; d'autant plus, que Tune depend de Tangle de deux elements lineaires, et Tautre de Tangle de deux plans. Au reste, on pourrait assignor la grandeur et la .position ^'un certain cercle de rayon «., qui permettrait de representer Tangle de torsion et la valeur absolue de la cambrure, sous les formes

e. ds ,9 I

V as V

analogues aux expressions que nous avons donn^es ci-dessus pour Tangle de

264 L1VBR VIII. — COUHBUBE DES U6NCS CT DES SURFACES.

contingence c et pour la courbure de la courbe; mais, a cet egard, nous renverrons le lecteur au Memoire de M. de Saint-Venant, cite dans la note ci-jointe (*).

655. Les courbes planes et les courbes cambrees presentent, quant au lieu de leurs centres de courbure^ une difference essentielle que nous allons faire ressortir. Parmi toutes les normales que Ton pent mener en un meme point M {fig. 129) ,. d'une courbe quelconque, celle suivant laquelle est dirige le rayon de courbure KO ? doit etre tracee (n*' 650) dans le plan osculateur MiM'M", et nous la distinguerons parle nom Ae normale principale. Or, quand la courbe AMB est plane, toutes les normales principales relatives aux divers points M, M', M'',..., se trouvent dans son plan ; et, par suite, elles se coupent consicutivement de maniere a former une courbe 00' 0"... k laquelle ces diverses normales sont evidemment tangentes; d*ou il suit (n** 199) qu'un fil 0*0"0'0K, plie sur cette dwehppSe, et deroule successivement, decrirait par son extremite K la ligne AMM'M'^B.

656. Au contraire, quand la courbe ptoposie est gcuiche, les normales principales, ou les rayons de courbure, ne se rencontrent plus consicuUvement, En effet [fig* ^So), concevons par les milieux K, K', K",..., des divers elements, les plans normaux PQS, P'Q'S', P"Q"S",..., qui se couperont deux a deux suivant les droites QS, Q'S',..., et formeront ainsi une surface developpable (n** 186), eweloppe de tous ces plans. Alors, si nous coupons les plans P et P' par le plan osculateur MM'M" qui est perpendiculaire a ces deux-la, nous obtiendrons pour intersections les deux

(*) Les deux affections d'une courbe gauche, dont nous avons parl6 ci-dessus, ont d*abord ^t6 d^signto «ou8le nom ^e premiere courbure et de seconde courbure, Mais, outre l*inconv^nient d'appiiquer des noms semblables k des affections de nature diffi6rente, ces denominations ne semblent ^tre que des num^roe d'ordre qui ont encore le d^faut de rendre le discours tratnant, et de produire quelquefois des ambiguitds fdcheuses dans une demonstration oCl ii s'agit de comparer plusieurs lignes distinctes que la clart^ de la redaction oblige &uomroer : la premiere courbe, la seconde courbe. Aussi, d*autres avaient-ils plus simplement nomme ces deux affections : la courbure et la flexion d'une courbe. Cependant M. VaU^e, dans son Traits de Geometrie descriptive, objecta avec raison que le sens naturel du moi flexion se rapporterait plutdt k la premiere courbure qu'a la seconde^ et il proposa de designer celle-ci par le mot de torsion, <Ze dernier nom point assez bien la transformation qu'il faut faire subir k une courbe plane pour la changer en une courbe k double courbure, el nous Tavions nous-mSme adopts dans nos pr^cedentes Editions. MaisM. de Saint-Venant, dans un Memoire pr^sente k llnstituten septembre 1844 et insure dans le 3o* cahier du Journal de PMcole Polytechnique, fit observer que les mots de flexion et de torsion indiqualent un changement de forme produit par une cause ext^rieure et souvent passagere, plutdt qu*une affection constante; que d'ailleurs il 6tait n^cessaire de r^server ces denominations sp^ciales pour exprimer certains effets mecaniques qui se rencontrent dans la theorie des verges eiastiques, et dont les rdsultats ne coincident

pas toujours avec les changements que subissent les quantit^s - et - ; c'est ce qui Ta conduit, par des

raisons tr6s-plausibles, k proposer de nommer ces deux affections la courbure et la cambrure de la courbe. En effet, ce dernier mot rappelle, par son etymologie m^me, Tespece de courbure que prodotrait le mouvement d'un plan qui toumerait successivement autour de diverses droites, et c'est bien ce qui a lieu ici pour des angles compris entre les divers plans osculateurs de la courbe primitive. En outre, il propose de remplacer la denomination fausse et incommode de courbe h double courbure par celle de courbe cambrce, plutdt que par le nom de courbe gauche qu'avait adopte M. Valiee; car ce dernier nom serait peu d'accord avec la nature de la surface developpable qui est formee par les prolongements des eiemento de la courbe, et qui a des rapports si intimes avec la courbe elle-meme.