CHAPITRE I. — GOURBURE ET D]£v£LOPPEES DES LIGNEfS

normales KO et K'O' qui determinent evidemment le centre du cercle osculateur correspondant au point M, et dont la premiere sera le rayon de courbure relatif a ce point (*). De meme, en coupant les plans normaux P' et P par le second plan osculateur M'M"M"', nous aurons pour sections les normales K'O' et K"0' dont la premiere sera aussi le rayon de courbure relatif au point M'. Or ce rayon K'O' ne coincide pas avec Tautre normale K'O, puisque ces droites proviennent du meme plan P' coupe par deux plans osculateurs distincts : ainsi K'O' va rencontrer QS en un point I different de ; et, par consequent, les deux rayons de courbure consecutifs KO et K'O', n'ayant pas de point commun sur Tintersection QS des plans P et P' qui les contiennent, ne sauraient eux-memes se rencontrer.

II resulte de la que les centres de courbure 0, 0', 0",..., n'6tant pas donnas par les intersections successives des rayons de courbure KO, K'O', K''0",..., lacourbe que Ton ferait passer par tons ces centres n'aurait pas four tangentes ces memes rayons, et, par consequent, ceux-ci ne sauraient 6tre regardes comme formes par le d^veloppement d*uft fil qui entourerait la ligne 00' 0"... Done, enfin, le lieu des centres de courbure d'une courhe gauche AMM'M"... nest point une d6velopp]£e de cette demiere ligne.

657. [Fig. 1 3a.) Cependant la courbe gauche AMM'M"... admet une infinite de developpees, ainsi que Monge Ta fait voir. En effet, si, dans le premier plan normal P, nous tragons arbitrairement une droite KD, qui sera toujours normale k la courbe proposee, et ira rencontrer QS en un point D; puis, si, par les points K' et D, nous tirons la droite K'DD', qui sera dans le second plan normal P', puis la droite K"D'D" situee dans le plan F', et ainsi de suite, nous obtiendrons, par les intersections successives de ces normales, une courbe DD'D"D''... a laquelle elles seront tangentes, et qui pourra servir a decrire la ligne AMM'... par le developpement d'un fil enroule autour de cette dds^eloppee DD'D".... Pour le prouver, il suffit de faire voir que les portions DK et DK' des tangentes h cette developpee sont egales entre elles, ou bien que le point D est a egale distance des trois points M, M', M"; or cela resulte de ce que la droite QS etant Tintersection de deux plans P et F eleves perpendiculairement sur les milieux des elements egaux MM' et M'M", chaque point de QS est a la meme distance de M, de M' et de M" : aussi, cette droite QS estappelee la ligne polaire de Tare MM'M", et les distances DK, D'K', D"K",..., sont les rayons de developpde qu'il ne faut pas confondre avec les rayons de courbure KO, K'O', K"0",,... D'ailleurs, comme la premiere normale KD a ete menee arbitrairement dans le plan P, on pourra done, en faisant varier la direction de cette normale, obtenir une infinite de developpees, situees toutes sur la surf a/^e polaire qui est Tenveloppe des plans normaux P, P', F',..., de la courbe AMM'M"...,

658. Cette surface polaire et developpable, lieu de toutes les ddveloppdes de la courbe AMM'..., a pour generatrices rectilignes les intersections successives QS,

. (*) n uous sera- utile, plus tard, d'observer ici que cela revient k abaisser, du point K, une perpendiculaire KO sur la g^n^ratrice QS de la surface enveloppe des plans normaux.