III® EXEMPLE
Determiner la plus courie distance d'un point 'HL a un plan P.
Fig, 10.
Soient LT la ligne de terrci M^Ma les projections du point M/et P,Pa les traces du plan P; faisons tourner le plan P autour de la projptante horizontale du point M9 prise pour axe, jusqu'k ce que ce plan devienne perpendiculaire au plan vertical ; a cet instant la normale au plan sera parallele au plan vertical de projection, et, par consequent, se pro« jetlera en vraie grandeur sur ce plan. Nous ponrrons ensuite ramener le systeme k sa position initiate, et determiner alors les deux projections de la norroale dans cctte position. Du point oh Taxe perce le plan on abdisse la ligne de plus grande pente du plan P, elle se projette horizontalement suivant OaMa^ perpendiculaire 4 Pa, et verlicalement suivant fy qui coupe en K, la projection de Taxe; le point K est done celui 06 le plan est perce par Taxe, et ce point reste immobile pendant le mouvement. Quand le plan P est perpendiculaire au plan yertical , cette ligne de plus grande pente / devient parallele au plan vertical; elle se projette alors horizontalement suivant (/^M^/' parallele a la ligne de terre, et vertical eroent suivant i^K^O^; les points e et Ojk dccrivent dans le plan horizontal les arcs semblables n^ et Ok ^a ^^"^ ^^ centre est en M^ et dont les projections verticales sont t, tl et 0^^ ; la trace Pa f emportee par le mouvement, prend la direction V^j^ft'^ perpendiculaire k la ligne de terrc ; les trois points f^ , K,, 0^ sont sur une m^me ligne droite, qui est a la fois la nouvelle trace verticale P'^ et la nouvelle projection verticale /^ de la ligne /; la
normale n au plan est done, suivant ce qui a ete dit en commen^ant, representee en vraie grandeur par MrN'^ perpendiculaire k /'^, son pied est projete en N^N)^, et si Ton ramene le tout k la position
initiate, on a definitivement M,N, , Ma Na pour projections de la normale /i, et N,, Na pour projections de son pied dans le plan.
Nou5 proposerons sur ce m^me exemple deux cas particuliers : 1" celui oil le plan P est parallele a la ligne de terre ; a® celui oik les deux traces P, et Pa du plan P sont en prolongement Tune de Pautre. Nous avons indique les constructions sans reprendre Texplication.
On sail que les traces d*un plan sont en prolongement Tune de Tautre quand le plan passe par P, une perpendiculaire k la ligne de terre elevee dans le plan bissecteiir de I'un ou de Tautre des diMres
SA ou IP superieur formes par les plans de projection anterieur ou inferieur posterieur, et reciproqaement.
On doit remarquer ce fait important : dans ies trois figures relatives a ce probleme les traces du plan et les projections de la normale, sitnees sjiir le m^me plan de projection , sont perpendiculaires entre elles, ce qui est la consequence de ce principe : Qunnd deux droites sont perpendiculaires entre elles dans Fespace, si Tune d'elles est parallele k Tun des plans de projection, les projections des deux droites sur cc meme plan %ovkt perpendiculaires entre elles.
CHANGEMENTS DE PLAN DE PROJECriO>
On tire un parti tellcment avantageux de ce principepour la recherche de la plus courte distance dVn point k une droiteou k un plan, que nous croyons devoir indiquer ici cette application-, quoiqu*elle soit etrangere aux roonvements de rotation dont Temploi presente, dans le cas actuel, ainsi qu*on a pu le reconnaifre, une complication au moins inutile pour la pratique.
Fig. II.
Fig, 13.
Fig, 1 3.
ft
Soient M^ , Ma , D, , D* les projections da point M et de la droite D ; designons par </, et rf, les deux^rrir-
cipalcs (i) d'un plan P passant par le point M et perpendiculaireii ladroite D. Supposons que la ligne r/i soit la principale parallele au plan vertical, elle aura (en vertu du principe enonce ci-dessus) pour projection verticalc une droite </„ perpendiculaire i D, ; la projection horizontale sera d'ailleurs une parallele ^,a& la ligne de terre; la ligne //,, qui est, par suite, la principale parallele au plan horizontal aura (too-
^;;'^^^f 4f^ jours consequerament au principe) pour projection hori*
zontale une droite ^^a perpendiculaire k Da et pour projection verticale une parallele d^, a la ligne de terre. En coupant ces deux droites en A et B par le plan projetant horizontal de D, on determine une droite AB qui est situee dans le plan P et qui coupe la droite D au point N; en joignant M, Pi« on obtient la plus courte distance demandee /I,
