CHAPITRE PREMIER
NOTIONS PR^LIMINAIRC3.
1 . A chaque pas que Ton fait dans les sciences ou dans les arts, on ^prouve le besoin de transmettre aux autres hommes la connaissance exacte des formes qu'affectent les corps, soit pour manifester les rapports geometriques que I'on y a d^couverts, soit pour guider Tartiste charge de reproduire ces objets dans des dimensions assignees d'avance. Or, de tous les moyens, le plus efficace et quelquefois le seul capable d'atteindre completement ce but, c'est la description graphique des corps; et tel est aussi le premier objet de la Geometric descriptive, dont les methodes generales deviendront ensuite, par leur fecondite, des moyens de recherche propres a d^couvrir de nouvelles proprietes de Fetendue, et fourniront d'ailleurs les procedes necessaires pour r^soudre les divers problemes de perspective, de stereotomie, de fortification, etc.
2. Mais ici se presentent deux genres de difficultes. En premier lieu, les corps offrent toujourstrois dimensions non comprises dans un mSme plan; ce qui semble devoir entrainer des operations graphiques a effectuer dans Tespace, chose fort incommode, sinon impraticable. Par consequent, il faut trouver des methodes qui permettent de rapporter tous les points de Tespace a un seul et meme plan, ou du moins qui ramenent toutes les operations graphiques k s'executer dans ce plan unique.
3. En second lieu, ces methodes devant servir, non a etablir des theories purement speculatives, mais bien a efTeqtuer des operations reelles, il faut qu'elles offrent une precision complete dans la maniere d'exprimer les donneesetlesresultats graphiques de chaque question; et c'est en cela surtout qu'elles differeront essentiellement^des procedes employes dans la geometrie ordinaire, du moins quand on considere les trois dimensions de I'espace. La, en effet, les figures n'etant destinees qu'a guider Tesprit dans la suite des raisonnements necessaires pour d^montrer la verite d'un theoreme, ne sont tracees que d'une maniere vague, ou d*aprfes cerlaines conventions tacites qui renferment toujours beaucoup d'arbitraire. Pour
G^mitrie Leroj. I
a UVBE I. — »ES DHOITES ET UBS PLANS,
8* en conTaincre, il sufltira de se rappeler comment on resout le problfeme de la plus courte distance de deux droites non situ^es dans le meme plan; ou bien encore celui oil il s'agit de trouver le centre et le rayon d'une sphfere qui doit passer par quatre points donnes. On verra aisemeqt que* 4^ns ces questions, la geometric ordinaire indique bien la serie d'op6ratiohs qu'il faudrait executor pour'arriver k la solution duprobleme; mais elle ne donne pas les moyens d'effectuer reellement ces constructions, et d'obtenir un resultat determine pour la grandeur et la position de la plus courte distance, non plus que pour la longueur du rayon et la position du centre de la sphere {voyez n°* 50 et 500). II est done indispensable d'adopter, en Geometric descriptive, un mode de construction qui ne laisse rien d'arbitraire dans la representation des donnees et des resultats, et qui permette aussi d'efTectuer toutes les operations graphiques sur un seul et meme plan : or ces deux avantages nous seront fournis par la Methode d^ projections dont nous aliens exposer les principes.
4. [Fig. i). Si d'un point a situ6 dans Tespace, on abaisse sur un plan fixe VXY une perpendiculaire a A, le pied A de cette drpite est dit la projection, du point a sur le plan en question. De meme, en abaissantdes perpencliculaires de tousles points <}e la droite aie/,..., la suite des points A, B, D,..., forme ce qu'on appelle la pror jection de la droite ahd sur le plan fixe ; et cette projection est necessairement rectiligne, puisque toutes ces perpendiculaires etant 6vi4emment contenues dans le plan mene par Tune d*entre elles a A et par la droite ad^ c*est Tintersection An plan projetant kad avec leplan de projection VXY, qui fournit la projection ABD.
Gen^ralement, la projection d'une courbe quelconque mnp est la suite des pieds des perpendiculaires mM, /iN, />P, . . ., abaissees de ces divers points sur le plan fixe, et cette projection MNP... est unejigne dont la courbure differe oydinairement de celle de la courbe donnee dans I'espace. D'ailleurs, I'ensemble de ces perpendiculaires compose une surface cylindrique dans le sens general de ce mot, e\ on la nomme le cyUndre projetant de la course mnp.
5. Cela pos6, je dis qu'un point, une droite, ou une courbe, sent completemei^t 4etermines de position, quand on assigne leurs projections sur deux plans fixes dont la situation est connue, et qui ne sont pas paralleles. Soient, en effet, VXV et XYZ deux plans de ce genre, A et A' les projections donnees d'un certain point dans I'espace. Si par le point A vous elevez une perpendiculaire indefinie Aa au plan VXY, cette droite passera necessairement par le point demande : ce point devra aussi se
I trouver sur la droite A'a elevee perpendiculairement au plan XYZ; done il ne pourra occuper dans I'espace qu'ane position unique, determinee par Vintersection 4e ces deux perpendiculaires. A la verite, si les deux droites Aa et A'a ne se renpontraien^ pas, il n'existerait aucun point de Tespace qui cut pour projection A et A'; mais cela prouve seulement que les deux projections d'un point ne doivent pas etre prises d'une maniere tout a fait arbitraire, et qu'il y a entre elles une dependance que nous expliquerons bientot (n** 10).
6. [Fig. i). Soient maintenant AD et A'D' les projections d'une droite inconnue,
€HAP1TRE I. — NOTIONS PRl^LIBimAlBES. B
sur les deuix plans fixes VXY et XYZ. ifen iniaginant par la premifere un plan inde- (iniBAa perpendiculaire a VXY, ceplan renfermera evidemment la droite demandee; elle sera aussi dans le plan D' A'a mene par D'A', perpendiculairement k XYZ; done la ligne inconnue se trouvera necessairement a rintersection de ces deux plans, qui est une diroite unique et ddterminee. II n'y aurait d'exception que dans le cas oil les deux plans projetants DAa et D'A'a se confondraient en un seul, ce qui supposerait que la droite dans Tespace, ainsi que ses deux projections, se trouveraientprecisenient^tf/penfi&cw/atre^ a rintersection XY des deux plans fixes : alors cleux projections de ce genre ne suffiraient plus pour definir la droite en question, et \\ faudrait deniander une troisieme projection faite sur un autre plan fixe, non parallMe a I'intersection des deux premiers,
7. Enfin, si Ton dohne les projections MNP et M'N'P' d'une courbe inconnue, on imaginera par la premifere un cylindre perpendiculaire au plan VXY, et par la seconde un autre cylindre perpendiculaire au plan XYZ; la courbe demandee devra evidemment se trouver sitiiee sur chacune de ses surfaces, et, par consequent, sa position et sa forme seront determinees par leur intersection m/ip, qui pourra bieh etre line courbe gauche ou courbe a double courbure (*), c'est-a-dire telle, que ioiis ses points ne soient pas compris dans un meme plan.
Ce sera done dorenavant par ses deux projections que nous definirons graphiquefnent uh point ou une ligne ; et quand nous dirons que tel point ou telle ligne est donrie, ilfaudra entendre que ce sontles projections qui sont cbnnues. Quant aux surfaces, nous verroris plus loin (n® 95) comment il faut modifier Temploi des projections pour les repr6senter commodement.
8{. iOans tout ce qui pr6cfede, nous avons supp6s6 qiie les projections s'executalent au moyen de droites abaissees perpendiculairement sur le plan fixe. Quelquefois, it est vrai, on emploie des droites obliques au plan, quoique toujours paral- Ifeles i une direction donnee, et les consequences que nous avons etablies dans les ni^' 5, 6 et 7 subsistent egalement; mais il faut de graves motifs pour faire adopter ce genre de projections, parce qu'en general il est moins simple et offre moins ^exactitude dans les resultats graphiques, attendu que des droites qui se coupent ot)liquement, laissent plus d'incertitude sur la position precise de leur point de rencontre. Ainsi, k moins que nous n'avertissions expressement du contraire, Tes projections seront loujoiirs orthogonales.
Par des motifs semblables, on choisit ordinairement les plans de projection VXY,
{*) C^te d^nominatiQii ne vient pas, comme on Ta dit faussement, de ce qu*une tellq courbe participe i^la courbure des deux surfaces dont elle est rintersection; car, d'abord, une surface n'admet pas une courbure unique; et ensuite une mSme courbe pent 6tre rintersection d'une infinite de surfaces tr6s-difT^rentes. Mai$ cette expression veut dire qu*une courbe qui n'est point plane, pr^sente deux sortes de courbures, Vixm pdr rapport k sa tangente, Tautre par rapport k son plan oscuiateur, comme nous rexpliquerons plus loin (n** 654). La premiere est proprement la seule et veritable courbure de la courbe; la seconde est, une esp^ce de torsion ou de cambrure: c*estpourquoi la denomination de courbe gauche o\x courbe cambree eeiBit k lit fois ^lus exacte et plus simple.
4 LIVRE I. — * DBS DROrrBS ET DBS PLANS.
XYZ, perpendiculaires entre eux; et pour se les representer plus aisement, on suppose que le premier est horizontal et I'autre vertical. Leur intersectioi>XY, qui est une ligne importante k remarquer, se nomme la ligne de terre.
9. Voilk done une methode suffisante pour exprimer graphiqueroent les donnees d'un probleme sans aucune indetermination; il reste a la modifier de maniere que les constructions puissent toutes s'executer sur un plan unique. Pour atteindre ce but, on imagine, apres avoir projete les points et les lignes dont il est question sur les plans rectangulaires VXY et XYZ, que ce dernier a tourne autour de la ligne de terre XY pour se rabattre sur le plan horizontal, et ne former avec lui qu'un seul et meme plan VZ'; et c' est sur ce dernier que Ton trace effectivement toutes les constructions que Ton aurait du faire sur les deux plans primitifs. Neanmoins, il ne faut pas perdre de vue que ce rabattement n'est admis que comme moyen d'execution : et toutes les fois qu'on veut se rendre compte d'une operation par des considerations geometriques, on doit, par la pensee, relever le plan vertical, et se le figurer toajours dans une situation perpendiculaire au plan horizontal.
10. [Fig. I.) Apres le rabattement des plans fixes, il existe entre les deux projections d'un meme point de I'espace une dependance tres-importante a observer. En effet, les deux droites ka et A'a, qui projettent le point a en A ot en A', sont perpendiculaires, Tune au plan horizontal, I'autre au plan vertical : ainsi le plan AaA', mene par ces deux droites, se trouvera perpendiculaire aux deux plans de projection, et, par suite, a leur intersection XY; done Ic plan kak! coupera ceux-ci suivant des droites AF, A'F, perpendiculaires 'sur XY, et aboutissant au meme point F de cette ligne de terre. Gela pose, quand le plan vertical XYZ tourne autour de XY, il entraine avec lui la droite A'F qui, pendant ce mouvement, demeure perpendiculaire a la charnifere XY; par consequent, apres le rabattement du plan vertical, la droite FA' prendra une position FA" qui sera evidemment le prolongement de FA. Ainsi les deux projections A et A" d'un mime point de Fespace doivent toujours se trower sur une mime droite perpendiculaire a la ligne de terre XY, lorsque les plans de projection sontrabattus Tun sur I'autre: de sorte que, si Ton prend a volonte une de ces projections, A par exemple, il faudra mener la droite indefinie AF perpendiculaire k XY, et placer quelque part sur le prolongement de AF, la deuxieme projection k!'.
11. Quant k la droite ad^ si Ton rabat semblablement le point D' en D% la projection verticale A'D' deviendra en rabattement A"D" ; mais celle-ci n'aura, avec la projection horizontale AD, aucune dependance necessaire, de sorte que Ton pent tracer arbitrairement les lignes AD et A"D'' pour representer les deux projections i'unememe droite dans I'espace. II faut toutefois excepter le seul cas oil AD serait
perpendiculaire a la ligne de terre XY : alors la projection verticale devrait aussi etre le prolongement de AD; mais nous avons dejk dit (n^ 6) que, dans ce cas tout particulier, deux projections de ce genre laisseraient la droite indeterminee de position.
12. Doreoavant nous placerons }es plaas de projectioq rabattus, de maniere que
