CHAPITRE II. DES PLANS TANGENTS EN ^Nl^RAL

D*ailli*urs, comme la courbe MX avait, dans ce qui precfede, une position arbitraire snr la surface, i! s'ensuit que le plan mene par les tangentes des deux lignes MG etMD renfermera la tangente de toute autre courbe qui passerait en M; ainsi ce plan TBIT' se trouvera bien tangent a la surface^ d'aprfes la definition que nous avons donn^e au commencement de cet article.

96. Lorsqu*une surface presente deux ou plusieurs nappes qui se coupent, comme il arriverait dans un cdne dont la base serait une courbe a noeud, les points de rinterscction de ces deux nappes semblent d'abord oflrir une exceptiob k la propri6t6 dont jouit le plan tangent en general; mais on reconnaitra que cette cir-- Constance rentre dans les cas ordinaires, si Ton observe que toutes les tangentes en un m^me point de Tintersection doivent 6tre distributes sur les deux nappes, comme elles leseraient sur deux surfaces ind^pendantes qui viendraient se couper en cet endroit, et dont chacune aurait son plan tangent distinct du plan tangent de Tautre.

97. Cependant il se rencontre quelqucfois de v^ritables exceptions \ la proprietA du plan tangent; mais cela ne pent arriver que dans des points singuUers de la surface, pour lesquels la generatrice ou la directrice, venant it se r^duire ii un point unique, nadmettent phis de tangente. Par exemple, au sommet d'un c6ne, les diverses aretes qui s*y coupent sont des lignes droites situees sur la surface, et qui sout elles-memes leurs propres tangentes; cependant ces droites se trouvent deox k deux dans des plans ^videmment distincts. Le sommet d'un c6ne est done un point sjngulier de cette surface pour lequel il nexiste pas de plan tangent. Mais si Ton remarque que la gen6ratrice par^llfele a la base du c6ne (n** 72) se resserre de plus en plus en s'approchant du sommet, et finit, en y arrivant, par se r^duife k un point lequel n'admet plus, k proprement parler, de tangente, on sentira comment la demonstration generale du n^ 95 cesse d'etre applicable a ce cas particulier. La meme cause d'exception se rencontrerait si Ton partait de la definition donn^e n* 71 pour les surfaces coniques, parce qu*alors une des directrices de la droite mobile serait le point unique, nomme sommet du c6ne, et qu'une telle directrice n*est plus susceptible d'avoir une tangente.

Une circonstance analogue se presente dans les surfaces de revolution, dont la m^ridienne coupe Taxe sous un angle oJ^oj ou aigu, ou meme nul : au point d*une telle surface qui est situ6 sfur I'axe de revolution, il n'y a plus deplan tangent; et les tangentes aux diverses positions du meridien forment, au contraire, un c6ne droit. C'est ce qu'on reconnaitra en faisant toumer un cercle autour d'une de ses cordes.

98. II est tr^s-important d'observer que la definition du plan tangent donnee n® 95 n'exige pas du tout que ce plan n'ait qu'w/i seul point de commun avec la surface. Cela arrive, il est vrai, dans les surfaces entierement convecces; mais, dans d'autres cas, le plan tangent pent rencontrer la surface en divers points, et mdme la couper suivant.une courbe qui passe par le point de contact, comme nous en verrons des exemples dans le tore (n^ 138) et dans les surfaces gauches. Cette circonstance n'empechera pas que ce plan ne renferme les tangentes k toutes les

8 UVRE TI. «- DBS SURFACES BT DCS PLANS TANGEirrS.

courbes tracees sur la surface par le point en question » et par consequent il tourchera reellement la surface en cet endroit; tandis que dans les autres points qu'il aura de communs avec elle, il sera generalement secant.

99. II existe neanmoins certains genres de surfaces ou le plan qui est tangent dans un pointy se trouve necessairement tangent tout le long d'une droite. Consid^rons, en eflety le cylindre ABC {fig. ^2) a base quelconque; si, par la generatrice AB et la tangente BT a la base, on m^ne un plan, je dis que non-seulement ce plan contiendrai les tangentes aux diverses courbes que Ton voudra tracer sur la surface par le point B (ce qui resulterait deja du theorfeme demontr6 n® 95), mais qu'il renfermera aussi les tangentes k toutes les autres courbes que Ton tracerait sur le cylindre, par les divers points de la generatrice AB; et pour justifier cette assertion, il suffira de faire voir que le plan ABT renferme la tangente MY k la courbe quelconque MX. Or, si par AB et un point D voisin de B, je mene le plan ABR, il coupera evidemment le cylindre suivant une droite DE parallMe k AB, et la courbe MX en un point G situe sur DE; de sorte que ce plan contiendra les deux secantes BDR et MGS. Maintenant, faisons-le tourner autour de AB de manifere que le point D se rapproche de B; les points de section D et G vont changer sur les courbes, mais ilsse trouveront touj ours ensemble sur une droite mobile, constamment parallile a AB; done, quand Tun de ces points D sera confondu avec B, au meme instant Tautre point G co'incidera avec M; c'est-a-dire que, quand le plan mobile aura pris la position ABT, la secante variable MGS, toujours situee dans ce plan, sera devenue la tangente MV. Ainsi cette demifere droite est renfermee dans le plan ABT.

Concluons de Ik que, lorsquun plan touche un cjlindre en un point quelconque^ il est ndcessairement tangent tout le long de la ginSratrice rectiligne qui passe par le point de contact.

100. Dans les surfaces coniques, le plan tangent jouit aussi de cette propriety, et elle se demontrera d'une maniere analogue, en observant qu'alors les points de section D et G sont situ^s constamment sur une meme droite variable, mais qui rencontre toujours AB au sommet du c6ne. Enfin, nous verrons plus loin que cette meme propriete subsiste ^galement dans une classe de surfaces nommees dd^elop^ pableSy et dont les cylindres et les cdnes ne sont que des genres particuliers.

101 . Toutefois ce serait une erreur de croire que ce contact du plan tangent, tout le long d'une droite, tient k ce que les surfaces dont nous venons de parler admettent des generatrices rectilignes; car nous rencontrerons bientot des surfaces engendr^es aussi par une droite, et nommi^^ gauches, danslesquellesle plan tangent ne satisfait aux conditions du veritable contact que pour un seul point, quoiqu'il contienne toute une droite de la surface {voyez n^ 142 et 154).

102. Le theoreme demontre n^ 99 offre une consequence importante que nous aurons souvent besoin d'invoquer par la suite : c'est que, quand onprojette sur un plan une courbe MX et sa tangente MV {fig* 3a ) , les projections de ces deux lignes sont elles-mime^ tangentes t une a V autre. En effet, pour projeter la courbe MX, il faudra (n^ 4) imaginer un cylindre MBCX passant par cette ligne et perpendiculaire au

CHAVITHis II. — DES PLANS TANGENTS EN GENI^ftAL. ^ ^9

plan donn^y qu'il coupera suivant une courbe BC qui sera la projection de MX. Ensuite, pour projeter la droite MV, il faudra mener le plan VMB, lequel etant evidemment tangent au cylindre en M, devra I'etre aussi (n** 99) en B; et par consequent il renfermera la tangente BT de la base BG. Done cette tangente se trouvera Tintersection duplan proj etant avecle plan de cettebase, et elle sera ainsi la projection deMV.

La meme consequence subsisterait encore, si Ton projetait la courbe et sa tangente par des droites obliques au plan donne, mais toujours paralleles entre elles.

i03» En resumant ce qui a ete dit sur les plans tangents, on doit en conclure que, pour construire le plan qui touche une surface quelconque dans un point donne, il suffira dorenavent de chercher les tangentes a deux courbes tracees sur la surface par le point dont il s'agit, en preferant dans chaque exemple celles qui offriront plus de facility; puis, de faire passer unplan par cesdeux tangentes, ce qu'on executera comme au n^ 22. Nous donnerons bientot divers exemples de ces constructions.

Lorsque, par le point donne, il passera une droite situie tout entiere sur la surfojce^ cette droite sera elle-meme sa propre tangente ; des lors elle devra se trouver contenue dans le plan tangent, et pourra etre employee a construire ce plan; mais il ne faudra pas en conclure toujours que ce plan touche la surface tout le long de cette droite (nMOi).

104. Z/a 7io/7na/e k une surface est la droite perpendiculaire au plan tangent, et menee par le point de contact de ce plan. Cette normale se construira done aisement (n^ 33), quand on aura determine les traces du plan qui touche la surface au point en question.

105. GoNTOUH APPARENT d'uu corps : on appelle ainsi la ligne qui, sur la surface du corps, separe les parties visibles pour I'observateur d'avec celles qu'il ne pent apercevoir. Soitdonc {fig^ 33) la position qu'occupe Toeil du spectateur : imaginons tons les plans qu'il est possible de mener par ce point tangentiellement a la surface proposee ; ils toucheront celle-ci suivant des points A, B, C,..., qui formeront une courbe a laquelle aboutiront tons les rayons visuels OA, OB, OC,..., tangents a la surface; ainsi cette ligne ABGD sera la limite de la portion que pent apercevoir Tobservateur place en 0. Mais ce contour apparent changerait de forme et de position si le point de vue se depla<;ait : que celui-ci soit transports en 0', par exemple, et le contour apparent deviendra A'B'CD'. II faudrait done assigner, dans chaque cas, la position du point de vue; puis determiner en consequence le contour apparent, ce qui donnerait lieu a des operations graphiques que nous apprendrons, ilestvrai, k executor dans la perspective, mais qui compliqueraientinutilement ici nos dessins. Au lieu que si nous conservons Thypothese dejk admise n^ 16, et d*aprfes laquelle le point de vue, dans toute projection korizontale, est censiaune dis^ tance injinie sur la verticale 00' passant par un quelconque des points de I'objet, alors les plans tangents dont les points de contact avec la surface faisaient connaitre la courbe ABC,..., deviendront tons verticaux^ et leup determination sera plus facile; ou plutot, elle s'effectuera ordinairement d'une maniere trfes-simple, comme nous le recoanaitrons dans les epures suivanles.

G^metrie LeroY. 7

So LIVRE II. — DES SURFACES BT HES PLANS TANGENTS.

106. II r^sulte de la que le contour apparent d'une $ufface projetie sur le plan HORIZONTAL s'ohtient en cherchant les points de contact de tons les plans tangents qui

507l^VERT]CAUX.

Quant k la projection verticale de cette meme surface, elle a son point de vue particulier, qui est cense (n^ 16) a une distance infinie sur une perpendiculaire au plan vertical; d'oii il suit que le contour apparent, relatif h cette projection, ne sef a pas le m^me que pour le plan horizontal, mais il s'obtiendra en cherchant les points de contact de la surface avec torn les plans tangents qui sont pebpendigulaires au plan