CHAPITRE II

DES PLANS TANGENTS EN Gl^N^RAL.

95. Un plan est dit tangent k une surface dans un point donne, lorsquil contient les tangentes a toutes les courbes que Von tracercdt sur cette surface par le point en question; mais il est necessaire de demontrer qu'il existe, en general, a chaque point d'une surface, un plan qui jouit de cette propriete, car on ne voit pas a prion pourquoi ces diverses tangentes ne formeraient pas un cdne, ainsi que cela arrive effectivement dans certains points singuliers. Nous aliens done prouver que trois courbes quelconques^ trades sur une surface a partir dun point donnS^ ont toujours leurs trois tangentes situees dans un seul et mime plan.

Soit 6M ^ [fig. 3i) la forme et la position de la generatrice (n^ 70) lorsqu'elle passe parte point donne M : soit DM </ une courbe tracee sur la surface, et sur laquelledevraglisserconstammentla generatrice, lorsque, dans son mouvement, elle decrira ce lieu geometrique : soit enfin MX une troisieme courbe quelconque, tracee

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ftrbitrairenient sur la mftme surikce. Si nous transportons la generatrice dans UM autre position G'M'g^, elle ne manquera pas de rencontrer la courbe MX en an ceHain point P, pourvu que le point M' soit pris assez voisin de M sup la directrice DMrf. Alors, en Joignant les points M, M', P par des droites indefinies, ces trois . lignes seront des secantes par rapport aux courbes MD, MX, G'g^, et elles seront ! 4videnimenttoutestroisdansunmemeplan.Maintenant,faisons mouvoir la genera- \ trice G'g' sur MD, en la rapprochant de sa situation primitive G g^, mais en observant toujours la lol qui r^gle la variation de forme et de position de cette courbe dans la sttrfece que Ton consid^re : puis, imaginons que le plan des trois si^cantes tourne aulour du point M, de manifere qu'il passe, en meme temps que la g^n6ratrice, par les points M" et F, M** et P'',..,, oil elle coupei'a successivement les courbes MD et MX ; par Ik ce plan mobile ren/ermera constamment les trois sdeanies variaMes. Or, quand la generatrice sera revenue II la position (Mg, le point M', mobile sur MD, sera confondu avec M : mais au m*me instant le point P' de la courbe MX aura dCi ^idemment se reunir avec le point M; et, par une suite n^cessaire, aur la courbe variable &g les points F et M' seront aussi confondus. Done alors les trois s^eantes mobiles seront devenues respectivement tangentee aux courbes MD, MX, MG; et si Ton se rappelle que ces trois secantes ^taient, pour chaque position de la gaidra^ trice, toujours situ^es dans un mem« plan, on en conclura que, quand elles sottt devenues les tangentesHT, MT', MT'', elles se trouvent encore dans un plan unique, qui n'est autre chose que la limite des positions qu'avait prises successivement le plan mobile des trois secantes (* )•

(*) Jo feitii observer que ce th^r^e (demoiiM ainsi en 1817, dans tnes lecons k T^cole Polytechnique) me paraft indispensable k ^tablir pour pouvoir, dans la suite, emprunter k la cn6thode infinilesimale les considerations abr^g^es et si utiles auxquelles nous aurons nous-mSme recours bieutdt (n^'lSB). En effet, ce n'est qu'apr^s avoir prouve rigoureusement que toutes les tangentes, en un mftme point d'une surface, se trouvent dans un plan unique, qu'il est permis de regarder la surface comme rx)mpos^ dV/^ments superficiels qui soient plansy parce qu'alors ils sont formes par les elements linSaires communs aux courbes de la surface et a leurs tangentes. Quant k la d^onstration pr6c6deute, on a object^ qu'ici la droite M'P' est bien, par rapport k la courbe G'^, une s^cante dont les points de section vont se reunir; mais que, dans Fintervalle, la ligne G'g' ne restera pas cotistante de forme, et qu'ordinairement cette condition est admise quand on d^finit la tangente comme la limite d'une s^caute. A cela, il suflit de r^pondre que si, dans la g^om^trie plane, on admet cette permanence de forme, ce n*est que lacitement et parce qu'on ne s*7 occupe gu6re que de courbes invarisdt)lement donnas; mais si, sans aortir d'an plan, on Irftcait UA cercle qui c0Qp4t une droite, puis qu'on fit d^croitre le rayon jusqu'i ce que les deux points de section vinssent k se reunir, il n*y aurait pas de doute qu'alors ce cercle variable ne fi^t devenu tangent k la droite. Ainsi la permanence de forme n'est pas du tout n6cessaire, et vouloir Texiger, ce serait restreindre gratuitement le caract^re general de la tangente k une courbe. II faut done d^finir celle-oi comme hi Umfte des posiUons que prend une s^nte dont deux points de section se sont rapprochte ind^niment, poMfYn ^ue oes points soient situ^ sur la m6me branche de la courbe et que cette demi^re n'ait yari6 de forme et de position que d'apr^s u/ie loi continue; or c*est bien \k ce qui arrive ici pour la courbe G'g-', puisque la surface est elle-mdme suppos^e continue.

Ajeutons enfin qu*il faudra de mdme ntgarder oomme tangentes l*iine A Tautre deux courbes qiielconques qui, aiNTte avoir ^t^ a^cantesi se sont roodifi^es de position ou de forme, d'apr^ une loi continue, jusqu'A ^ire coXncider ensemble deux de leurs points de section ; car il est Evident que ces deui courbes auront acquis une tangente commune, qui sera la limite des positions de la droite mobile passant par les detik points cemmtms aux courbes s^antes.