CHAPITRE III

DBS PLANS TANGENTS AUX CYUNDRES ET AUX GONBa.

109r Par un point donni sur la surface d'un cyUndre quelconque, on propose de lui mener unplan tangent.

Soil AECG [fig. 39) la directrice du cylindre, que nous supposons situ6e dans le plan horizontal, et quoique cette ligne se trouve ici un cercle, la m6thode sera generale et applicable a toute autre courbe; soit aussi [aby dV) la droite k laquelle la generatrice rectiligne doit rester constamment parallele, en glissant sur AEOG«

GHAPITRB iU. — PLANS TAHGBNTS AVX CTUDIDRES BT ACX €ONES. 5 1

Nous commencerons par determiner le contour apparent de la surface qui^ sur le plan horizontal, sera donne (n^ 106) par les points de contact de tous les plans tangents verticaux. Or chaque plan de ee genre renfermera une arete (*) du cylindre, et aura pour trace horizontale la projection meme de cette droite, o'est-k-dire une parallele a ez6; de plus, ce plan touchera le cylindre tout le long de cette generatrice ( n^ 99 ) , et par consequent sa trace devra itre tangente a la hose AEG6. Done, si Ton mene a cette courbe les tangentes AB et CD parall^les a ab^ ce seront les traces de deux plans tangents verticaux qui toucheront le cylindre suivant les generatrices projetees horizontalement sur AB et CD ; et consequemment les projections verticales de ces generatrices -seront les droites A' B' et C' D' menees parallelement 9idl/. Ainsi, les deuxlignes (AB, A'B') et (CD, CD") formeront le contouf apparent du cylindre sur le plan horizontal ;^et toute ar^te de cette surface qui sera aur-dessous de ces droites, c'est-k-dire qui aboutira sur le demi-cercle AGC, sera irwirsible en projection horizontals

Quant au contour apparent sur le plan vertical, il sera fburni (n^ 106) par les plans tangents qui serodt perpendiculaires a ce plan de projection; leurs traces horizontales devront done dtre perpendiculaires a la Ugne de terre^ et comme cidessus tangentes a la base AEGG ; par consequent ces traces seront BE' et GG'. Ensuite, comme ces plans toucheront necessairement le cylindre suivant les generatrices qui aboutissent aux points de contact E et G, et qui sent evidemment projetees sur (EF, E'F) et (GH^ G'H'), il s'ensuit que ces deux generatrices formeront le contour apparent de la surface sur le plan vertical ; de sorte que toute arete qui se trouvera en arriire de ces droites, ou qui aboutira sur le demi-cercle EAG, sera invisible en projection verticale.

110. Maintenant, r^solvons le probl^me propose, en supposant que M soit la projection horizontale du point donne; et puisqu'il doit etre sur la surface, il ne faudra pas choisir arbitrairement la seconde projection de ce point, car celle-ci va r^sulter de la premiere. En effet, par le point en question sur le cylindre, il passe necessairement line generatrice qui sera projetee horizontalement suivant ML parallele a ab\ or Ml ttllant rencontrer la base du cylindre en L, ce point doit etre la trace horizontale de tette generatrice, dont la projection verticale sera par consequent L'K' parallele ^ ^b'\ ainsi, c*est sur cette droite L'K' qu'il faut rapporter le point M par une perpendiculaire a la ligne de terre, pour obtenir la seconde projection M' du point assigne sur le cylindre.

(♦) Quelquefois, pour simplifier le langage, nous appellerons arites d'un cylindre ou d*un c6ne, les diversed positions de ta generatrice rectiligne; mais il ne faut jamais donner & ces droites le nom ^ elements^ car les elements d'une grandeur doivent toujours dtre bomogenes avec eile : ainsi les elements d'une surface soni d'auires petites surfaces dont la somme compose la surface en question. D'ailleurs, nous aurons besoin plus tard (n** i59) d*employer ce mot ^element dans sa veritable acception, et alors il r6sulterait de ce double sens une confusioti d'id6es tr^s-nuisible dans la th^orie des surfaces gauches. Nous emploierons aussi quelquefois le nom de hose pour designer la directrice d'un cylindre ou d'un c6ne, surtout quand cette Goarbe se trouvera situ^ dans le plan borizontah