LIVRC IT. — DES SURFACES ET DES PLANS TANGENTS

Cependant ll existe ici une autre solution; car la droite ML allant coupcr la base en deux points L et V, on pent dire que V est la trace d'une autre arete projetee ^galement sur MV, mais dont la projection verticale sera V'K"; de sorte que si Ton rapporte le point IVhsur cette derniere droite en M", il y aura sur le cylindre un second point (M, M") qui sera, comme.le premier (M, M'), projete horizontalement en M.

111. Cela pose, construisons le plan tangent pour le point (M, M') {fig. Sg). Ce plan renfermerala generatrice (ML, M'L'), et par consequent sa trace passera par le pied L de cette droite; puis, comme il doit toucher le cylindre tout le long de cette generatrice (n^ 99), il contiendra necessairement la tangente de la base au point L, c'est-k-dire la ligne LQ, qui sera pr^cisement la trace horizontale du plan demands. Pour obtenir Tautre trace, on cherchera le point K' oil la droite (ML, M'L') contenue dans ce plan, va percer le plan vertical, et QK' sera la trace verticale du plan tangent. Mais s'il arrive, comme dans notre epure, que la trace PQ aille couper la ligne de terre a une distance trop considerable, on imaginera par le point (M, M') une droite auxiliaire qui soit parallele a la trace horizontale LQ, et dont les projections seront evidemment MX parallele a QL, et M'X' parallele k la ligne de terre; puis, en construisant le point X' ou cette auxiliaire va percer le plan vertical, ce point devraappartenir encore a la trace verticale du plan tangent, laquelle sera X'E'. Dans tons les cas, ce moyen est bon a employer comme verification.

Quant au plan tangent relatif au point (M, M"), on observera que la generatrice de contact est ici projetee sur MV, M"V'; done, en menant par le pied V de cette droite une tangente YS a la base du cylindre, ce sera la trace horizontale de ce nouveau plan tangent. La trace verticale SK'' se determinera, comme ci-dessus, en cherchanl k point K'' oil la generatrice de contact va percer le plan vertical; ou bien, on aura recours encore a Thorizontale (MY, M"Y'), qui fournira un troisifeme point Y de cette trace.

112. Observons d'ailleurs que les deux plans tangents PQR' et PSR', que nous venous de construire, renferment deux generatrices du cylindre qui sont parallfeles entre elles; done ces plans ne pourront se couper que suivant une droite parallele a ces generatrices. Par consequent, si Ton construit comme au n^ 27 Tintersec^ tion (PR, P'R') de ces deux plans, cette droite devra se trouver exactement parallele a (a6, a'b')^ ce qui fournira une nouvelle verification des operations graphiques anterieures.

113. D*apres les motifs exposes n^ 108, nous noussommes propose, dans I'epure actuelle, de construire seulement les traces des plans tangents, sans regarder ceux-ci comme reellementexistants; mais, puisque ces traces subsistent, il faudra /^onc/uer les parties de ces lignes qui se trouvent cachees par la projection du cylindre sur ie plan horizontal et sur le plan vertical. Quant aux diverses aretes du cylindre, nous aurions pu pointiller celles d'entre elles qui nous avaient servi de lignes auxi-liaires pour arriver aux plans tangents; mais nous avons prefere de regarder toutes ces droites comme aulant de generatrices reeliement existantes, et dont Tensemble

CBAPITRE in. — PLANS TlHTttEllTS ATO CTLIlfDBES ET AUX CONES. 53

accuse mieux la forme de la surface; dfes lors elles out du etre marquees par un tvait pkin on ponctuSy selon qu'elles ^talent visibles ou invisibles; distinction qui s*effectuera d'apres les regies enoncees aux n^ 107 et 109.

114. Si Ton veut construire la courbe suivant laquelle le cylindre va penetrer le plan vertical, il suffira de chercher les traces de diverses generatrices de cette surface, et Ton obtiendra ainsi la ligne FK'D'H'K'^B' qui, dans Texemple actuel, sera une ellipse; elle devra toucher aux points K', K", les traces des deux plans tangents, puisque ceux-ci renferment (n^ 99) les tangentes k toutes les courbes situees sur le cylindre, et menees par les divers points de leur ar6te de contact. Pour obtenir les points leplus heait et le plus bos de la courbe F'K'D'H'. . ., il suffira de construire les deux generatrices qui repondent aux points de la base T et / dans lesquels la tangente est parallele a la ligne de terre. Car, pour chacune de ces generatrices, par exemple (TU, T'U'), le plan tangent correspondant coupera le plan vertical suivant une droite necessairement parallele k cette ligne de terre, et consequemment horizontale ; d'ailleurs cette intersection devant toucher evidemment la courbe F'K'D'H'. . ., il s'ensuit que le point U' est bien celui oil la tangente est horizontale. Observons, en outre, que cette consequence est vraie pour un cylindre quelconque, quand meme sa base serait toute autre courbe qu'un cercle.

115. Cos ou la directrice est une courbe donnie dans Vespace, et definie par ses deux projections que nous designerons par x et a;\ sans tracer la figure. Pour resoudre le probleme directement, on pourrait, comme au n^ 110, mener par le point M, et parallfelement k a6, une droite qui rencontrerait la courbe x en un point L; puis, en projetant sur a/ ce point L en L', on tirerait par ce dernier une parallele a a'b\ sur laquelle on projetterait le point M en M% ce qui acheverait la determination du point de contact. Ensuite, on construirait la tangente de la directrice pour le point (L, L'), et Ton ferait passer le plan tangent par cette tangente et par la generatrice (LM, L'M'). Mais il est ordinairement plus simple de mener par divers points de la directrice [x, xf) des paralleles a la droite [ah, a' b')\ et en cherchant les traces horizontales de toutes ces generatrices^ on obtient des points assez rapproches pour pouvoir etre reunis par un trait continu, ce qui fournit la base AELG du cylindre sur le plan horizontal, et nous ramene aux donnees de la^^. Sg.

116. Mener un plan tangent a. un cylindre par un point donne hors de cette surface. Conservons pour le cylindre les m^mes donnees que precedemment, et soit

(N, N') [fig. 39) le point assigne dans Tespace; nous menerons par ce point, et parallelement aux generatrices, une droite (NP, N'P') qui devra evidemment se trouver contenue tout entiere dans le plan tangent cherche, puisque celui-ci, quel qu'ilsoit, renfermera une arete du cylindre. Done, en construisant la trace horizontale P de cette droite, on obtiendra un point de la trace du plan demandc; et celle-ci, devant toucher la base du cylindre (n^ 99), sera Tune des tangentes PLQ et PYS que Ton pent mener a cette base par le point P. II y aura done deux plans qui resoudront le probleme, et leurs traces verticales s'obtiendront aisement, puisque chacun de ces plans renfermera la droite (PN, P'N') et Tarete qui part du point

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de contact L ou Y (*). D'ailleurs on pourrait aussi^ comitie au n^ 11 i» imaginer par le point donne (N, N') une horizontale situee dans Tun ou Tautre des plans tangents^ et construire la trace verticale de cette droite.

117. Trower tm plan qUi soit tangent d un cylindre^ et paralUle a une droite donnde*

Soient AEGG {fig. 4o) la base du cylindre sur le plan horizontal, et (EF, ¥/V') une des generatrices : on construira le contour apparent de cette surface sur les deUJc plans fixes eomme au n^ 109; puis, si Ton represente par {mn^ trin') la droite donnee> il faudra, par un point de cette ligne» mener une parallele [ma, m'a!) aui generatrices du Cylindre, et f^ire passer un plan par ces deux droites. Ge plan, (|ui aura pour trace horizontale an^ devra se trouver parallele au plan tangent cherchet puisque ce dernier tenferme une arete du cylindre, et se trouve ainsi parallele aux deux droites projetees sur ma et mn; done la trace de ce plan tangent sera Tune des deux tangentes PQ ou IS menses a la base parallelement a an. Par consequent, il y aura encore deux solutions, et les traces verticales QR', SV s'obtiendront facilement au moyen des aretes de contact qui seront (PR» P'R') pour Tun des plans, et (TV^ T'Y") pour Tautre. Ici les deux plans tangents seront evidemment paralleles entre eux, et, par suit6> leurs traces verticales devront aussi se trouver paralleles Tune a Tautre.

118. Observons, en terminant cesproblemes sur les cylindres, qu'on ne pourrait pas exiger qu'un plan f&t tangent a une telle surface et passat en menle temps par une droite donnee. Car, par cela seul qu'un plan touche un cylindre en un point, il est, comme on Ta vu n^ 99, necessairement^tangent tout l3 long de la generatrlce qui passe par ee point; de sorte que cette premiere condition en renferme implicitement deuk, d'aprfes lesquelles te plan cherche dolt jouir du contact en deux points de la surface : puis, si Ton y joint robligatioh de passer encore par une droite du par deux points donties en dehors, cela formera quatre conditions distinctes, tandis que trots suffisent pour determiner la position d'un plan. Gependant, si la droite donnee etait parallele aux aretes du cylindre, cela reviendrait k n'assigner qu'un seul point exterieur» et le probleme rentreraitdans celui du n'' 116.

119. Pitr un point donne mr une surface conique, on propose de ku mener unphh tangent.

Soient ABCD {fig. 4i ) la courbe dlrectrice que nous sUppoSons situee dans le plan horizontal, et (S, S') le sommet du c6ne; nous commettcerons par determiner le contour apparent de cette surface sur le plan horizontal, en cherchant (n^ lOtt) tons les plans tangents qui peuvent etre venicaux. Or, un tel plan ayant pour trace horizontale la projection memo de la generatrice qu'il renferme, cette trace passera

(*) II arrive ici que les points de contact L et Y sont sur une mSme parallele k la droite ab, parce que nous avonfi voulu faire servir la figure du probldme pr^c^ent; mais lorsqu'on prendra le point (N^ N') tout k fait arbitrairement, cette circonstance n'aura pas lieu en g^n^ral, et du reste cela ne cbangera rien aux raisonnements qui nous ont servi k rteoudre le probleme actueh