CHAPITRE U. — DES SCBPA€BS ENVBLOPPES

B aura touchy le cylindre en D, ies caracteristiques consecutives commenceront: ^ se couper : en efTet, la normaie GL^, par exemple, rencontrera la normale infiniitnient voisineau point L situe sur la developpee; et comme ce point se trouve en dedans du diamfetre Gg = AB, il en r^sulte que Ies deux caracteristiques projet^es sur G^ et sur la normale infiniment voisine, se couperont en deux points projetes en L;, et situ^s Tun au-dessus» Tautre au-dessous du plan horizontal de Tepure* Toutefc us, pour justifier completement cette assertion, il faut ajouter que ces deux caraci teristiques sont placees (n® 204) sur une meme position de la sphfere mobile; autr ement» Ies plans de ces deux cercles pourraient bien se couper suivant la verticale L, sans que leurs circonferences eussent des points communs.

II resulte de la qu'k partir de la position DI, Ies diverses caracteristiques circi iilaires se trouveront partag^es par leurs intersections consecutives, chacune en del ix segments projetes

sur LG, MH, YP, VQ, UT, (N)

et sur Lgf MA, Y/i, Vy, Vt. (n)

Les segments de la premiere serie formeront une nappe que nous d^signeron s par (N), et k laquelle appartiendront les caracteristiques totales AB, A'B',..., tandi. s que les segments de Tautre serie donneront lieu k une seconde nappe (n), qui com- mencera par Stre renferm^e dans Tint^rieur de la premiere, mais qui bientdt ei i sortira pour s'etendre indefiniment jusqu'aux caracteristiques totales a!b\ ab^.^*» En outre, ces deux nappes de I'enyeloppe se reuniront Tune k Tautre le long d'une ligne a double courbure projetee sur DLMYVUE, et qui n'est autre chose que le cercle* vertical AB, dont le plan serait plie et enroule sur le cylindre de la developpee.

207, Observons d'ailleurs que cette ligne k double courbure DYE {fig. 54) est une veritable arite de rebroussement pour I'enveloppe totale. Gar, en se rappelant (n® 205) qu'un point quelconque Z de la caracteristique mobile, decrit les deux, branches ZaSM et My^z d'une spirale dontle rebroussement est en M, on doit apereevoir que, quand le point mobile Z est en a ou en S, il se trouve encore sur la nappe (N) placee au delk des points de contact D ou L; mais d^s que ce point est arrive en you en (^, il appartientk la nappe (n) placee en degk des points de contact Y ou y ; par consequent, le passage de ce point mobile d'une nappe k Tautre a lieu precis^ment en M, et la forme de la spirale en cet endroit prouve bien que ce passage s'efTectue par un veritable rebroussement. Comme on en dirait autant des ^ autres points de la caracteristique AB, il en faut conclure que la courbe projetee sur DMYE est une ligne de rebroussement pour les deux nappes de Tenveloppe.

Une circonstance analogue se reproduirait dans toutes les enveloppes, quelle que flit la surface mobile qui les engendrerait ; c'est pourquoi Monge a donne le nom general d'arite de tebroussement d*une enveloppe, a la ligne formde par les intersections consicutwes des diverses caracteristiques; et nous en avions dejk rencontr^ un exemple remarquable dans les surfaces d^veloppables oil le^ caracteristiques ^taient desdroites (n®190).

Giom^tne Leroy, 12

^ UyKP IT. ^ INTERSECTIONS DB SURFACES.

20^. Reyenons k TeDveloppe particuUere qui nous occupait]^ et obseryons que lessegmeqts de cars^cteristiques Lg, MA,... qui appartiepneut k la p^ppe (n) doiyfixit etve ponctues , parce qu'ils sont invisibles comme efant renferipes dans Tinterje^ir de la nappe (N)- En effet, on a evideipment

d'oh, en retrancbant la partie commune Le, il resulte que

pap consequent si Ton ramenait sur le cercle AOB les deux points projetes en £ et qui appartienpent Tun au segment LG, I'autre au segment MA, le premier viendrait occuper ui^e position e' plus voisine du point Z et, par suite, du centre 0, que ne Test la position e" oil vieridrait se placer le d'euxi^me ; done le point b' est plus eleve que £^, et, par consequent, le segment LG passe au-dessus du segment MA. On expliquera, pardes considerations analogues, ' les divers modes de ponctuation employes dans Tepure; tbutefois, nous ferons encore observer que les points R etp, Z.ef ^,..., du cercle mobile AOB, se trouvant respectivement k H meme hauteur, dfjcriront dq^ ^pi|pales qui se rencontreront deux k deux; de sorte que les deux Mppes (N) et [n] de T^nveloppe se traverseront putuellement suivaht une ligne d'intersection projetee sur la droite YW.

Les surfaces que nous avons examinees dans ce chapitre, et surtout la dernifere que nous venons de 4iscuter avec detail, parce qu^elle presentait par elle-meme des cLrconstances interessantes, suifiront, san$ dqute, pour donner au lecteur une idee assez complete des enveloppes et de leur$ particularites; c'est pourquoi nous allons passer au probl^me important des intersections de surfaces.