CHAPITRE II. — 0ES SVBFACBS BITVBLOPPES
voisinesMGi M'C, WG\ . . . qui, par leurs intersections successives, formeront une courbe CCC". , . a laquelle elles seront toutes tangentes. Cette courbe DCY, ewe-loppe de toutes les normales a la ligne primitive ABX, se nomme la developpSe de celle-ci, tandis que la ligne ABX regoit le nom de developpante par rapport a la courbe DCY; ces denominations vont etre justifiees par les relations suivantes.
Le point C ou se coupent les deux normales MC et M' C, elevees sur les milieux des elements egaux BB' et B' B'', se trouve evidemment a egale distance des trois points B, B'» B''; par consequent G est le centre d'un cercle qui aurait, avec la courbe AX^ deuoc elements communs BB' et B'B''. Or, comme on ne saurait assujettir une circonference a passer par plus de trois points, c'est done la le cercle qui, parmi tous les autreSy approche davantage de se confondre avec la courbe AX dans les environs de B; aussi on Tappelle le cercle osculateur Ae cette ligne pour le point B. Quant au rayon de ce cercle osculateur, ce serait a la rigueur une des trois lignes CB = CB'= CB''; mais on pent y substituer CM = CM', parce que ces diverses droitcs sont les rayons de deux cercles circonscrit et inscrit au meme poly gone BB'B'', et Ton sait qu'a la limite, ou pour les elements infiniment petits, ces deux circonferences coincident (*). D'ou il resulte que le centre Cetle rayon MC da cercle oscuia-teurf sont determines /^or la rencontre de deux normales infiniment voisines.
198. Cette droite MC s'appelle aussi le rayon de courbure de la ligne ABX pour le point M» parce que sa longueur, plus ou moins grande, indiquera une courbure plus ou moins faible. En efTet, si nous voulons acquerir une idee nette de la courbure d'une ligne ABX, regardons-la comme un polygene que Ton aurait form6 en pliant successivement une droite BB'^'^J'". .. autour dee points B', b'\ 6'^, .. .; de cette maniere, il est evident que la courbure au point B' sera exprimee par Tecart que Ton aura mis entre les elements B' &" et B'B", c'est-k-dire par V angle de continrgence TB'T\ ou plutot par Tare 8 qui mesurerait cet angle dans un cercle dont le rayon serait Tunite. Or Tangle TB'T' egale Tangle MCM', et celui-ci comprend un arc de courbe MB'M' qui se confond avec le cercle osculateur decrit du rayon MC; done Tare 6, semblabfe a MB'M'> et decrit avec un rayon egal a Tunite, aura pour valeur
MB^M^ BB' ds
^ "" MC "" MC "" p
Mais comme la courbe ABX est divisee en elements tous ^gaux entre eux, la quantite €&sera constante; et il resulte de la valeur precedente que la courbure^ indiquee par 6, vaiiera d'un point a un autre de la ligne ABX, en raison vfwerse da rayon
MC = /5. (Foyezn«653.)
(*) Les lignes CM et CM' sont ^ales, attendu que les ^l^ments BB' et B'B' 6tant ici de mdme longuear, les triangles rectangles CftIB' et CM'B' seront ^ux. D'ailleurs le premier de ces triangles donne
CM=v/CB'»-MB« = CB'(i-g^y;
et, en d^eloppant, on voit que quand MB' sera infiniment petit, la difference entre CM et CB' ne sera .qu'un infiniment petit du second ordre^ quantity qui doit 6tre n^lig^, mtoe vis-i*yis de MB'.
86 UVBE nfr. -- SitAt'AGtS tittJttOPPAmt» Et CWWLOPPES.
f99\ (Frg*. 56.) Maintentot, si I'on plic un fil fflexiHe MCC'C'Y le long de k d^veloppee, et qu'aprfes avoir attach^ fixemeirt un des points de ce fil, par exetnple Y, on donne h la partie rectiligne CM une longueur telle, que Textremife M aboutisse sut la developpante AKX, cctte extremite parcotirra exactement Fa Hgne ABX, quand on deroulera successive ment fe fil en le tenant tou jours tendu. En effet, lorsque le contact du fil avec la d6veloppee sera venu de C en C, la partie rectiligne dtf fil MC^M'C se sera accrtfe de CC, et elle aura ators pour longueur tota!e BTC + CC = WC; nftis, ptiisqne cette dernifere figne (n*> 197) est egale k M^C, il s'ensuit que FextreiAft^ mt^ftile M aboutira precisement en M''. II eH serait de ttiime ptetar touted les positions successives dtr fiT, qui pent ainsi sefvir 5i decrire ta ddv'elop^ pante^ en le deroufont de dessus la di^^eloppie; d'ailleurs, il resulte de \k qtx^un arc quelconque CC'C de let dipehppee est igal a la difference de$ deaob rayafis de coatbure MC et WG' qui aboutissent i ses extremites.
ObservOM, eti outre, qu*une courbure d^teriftinee ABX n'admet jaiiiais qu^une d6velopp6e tmique ; fdudis qu'iftie nfif^me developpee DCY correspond k une infinite de d6veIopp'anfeS, ptfisqu'en prenairt strr le fil MCC'Y divers points M, m,..., its d6crirotif des courbes difKrentes MM'M"X, mrnfrrfx^,...^ qui seront autant dfe dfeveloppantes-de Fa m^me developpee DCY. Toutes ces devefoppantes auront ^Videmment letfrs nortfia^ks communes, ef se trotveront partout eqtddistantes dansf fa direction it tti BfoirmafFes; mais elles difftrerotrt beatrconp les unes des adtres, quant k leurs ^dpri^t^s^et k leWs ^qtfatio*s.
200. Fottr cite* cjifelques exetn]()les simples de li th^orie d^s devetopp^es, nous dirons que si fei c'ourbe ABX {Jig. 56) etait une parabole du deuxieme d(egr6, sa deve!opp6e se composerait de deux branches indefinies, telles que DCY et DTY', placees I'one ati-desso^ts, Tautre au-dessus de Taxe Al), et qui viendraient s'y reunir en formant uri rebrcftisser^ent sea |)oint D. Ce point est eloign^ du sommet A, de la quantite AD :== 3i AF = le demi-paramfetre, et cette droite AD est aussi le rayon de courbure de la psrtrato'Ie pour le sommet A.
Dans une ellipse ABDE [fig. 76) dont les demi-axes sont OA = ^, OB =' 6, b developpee est une courbe afid'e composee de quatre branches qui presentent autant de points de rebroussement, places a des distances
Aa = Dc? = ^', Bg = E£ = ?.
Ce ^ont Ik aussi fes grandeurs des rayons de courbure pour les sommets A et B; car les deux branches aS et Sd' servent a decrire la demi-ellipse ABD, tandis que les deux autres as et td se rapportent a la portion inferieure AED.
Dais un cercle, la developpee se reduit k un point unique, qui est le centre, et le rayon de courl)ure est constamment egal au rayon meme du cercle donn^.
201. Mais, pour obtenir des resultats plus interessants dans les applications que nous allons faire aux surfaces enveloppes, nous admettrons ici que Ton s'est donne immediatement une developpee circulaire YDFE [fig. 54)^ et qn'on en t AMnAi \i
aiAMTWB n. «*^ 0BS SUEFAGB8 ENVBLOJPPSIft. %
de^eloppante YO''0'OX, en deroulant un fil pile sur le cercle, et dont TextrQinite mobile auralt d'abord coincide avec le point Y. Pour tracer graphiqueinei\t cette courbe, ou diivi^era la circonference en parties egales, douze par exen^ple; puis, en portafttfiur le8 tangentes FO, F'O', F"0",... des longueurs egales a i^, i^, i^,... de cette arconfecenoe, ,on obUendra (n'' i99) les divers points. 0, OS ^'\... qu'U faudra.r.amur jpar un trait continu. Ge sera d'autant plus facile, qu'on pourra Qiqployer ^ cetefEeAdeipe tits .arcs de cercJle decrits avec les rayons FO, F'O', F"0",..-; car ces distances jsoyciA precisement ( 197) les rayons des cercles osculateurs de la coujsbe XOY.
Cette developpante XOY sera une spirale indefinie, ay ant pour origine le point Y; et nieme on doit regarder la spirale Yo"oa? symetrique de la precedente, comme etanjt une seconde brandtie de la meme developpante, et comme ne formant avec ^a premiere qu'une seule courbe dont toutes les parties sont decrites/^or/is mowemeiu continu d'un point unique. £n effet, si au lieu d'un fil pli6 sur la daveloppee, on conceit une droite injlexible et indefinie ABFo^ qui, demeurant tangente au ceroid GY, roide, urns gHsser^ sur sa circonference, il est clair qu'un point 0, fi^e sur cqtte droite, viendra successivement se placer en 0', 0" et Y; puis, si la rotation de la droite continue dansle meme sens, ce point se trouverades.lors.en arriere du point de contact, et decrira.sans discontinuite la branche Yox. D'ailleurs on doit ape^cevoir que cette mani^re de decrire une developpante quelconque par la rotation d'une droite inflexible sur la dev6loppee,iquivautk lageneratiou iudiquee n^ 199; mais le mode aotuel est plus general, et il devient mSme.necessaire quand Lad^velopp^e offre des points de rebroussement, comme dans Tellipse, la parabole,..., puisque autrement il faudrait changer souvent le point d'attache du fil, pour.le tratt3porter d'une branche sur Tautre.
202. SURFACES CANAUX. {Fig. 54.) Cela pose, imaginons qU^une sphere d'un rayon constant^ represente par OA = OB, se meuve de mani^re que son centre suive la courbe horizontale XOYoo?; Tenveloppe de toutes les positions de cette Siph^re mobile sera formee (n^ 190) par les intersections des enveloppees cons^utives; ainsi, examinonsce que sont ici ces intersections. Pour deux positions voisinesOetO' du centre mobile, les .deux spheres egales se couperaient suivant un petit cerole, daxKt le plan serait evideinment perpendiculaire sur le milieu de la droite 00' qui .joint les centres; par cousequent ce petit cercle serait projete sur le plan de notre epuite qui est horizontal, suivant une droite perpendiculaire a la corde 00', et passant par son milieu. Or, a m esure que le centre 0' se rapproche deO, la corde 00' indefiuunent prolongee approche de plus en plus de la tangente a. la courbe XOY, et elle coincide aveb cette tangente k la limite : done, pour deux spheres infiniment Toisinea, Ja courbe d*interse ction est un grand cercle projete sur ha normale AOB de la directrice XOY. 11 suit de 1 it que I'enveloppe peut etre regardee comme engendroe par le grand cercle vertical AOB, dont le centre parcourrait la ligne XOY, tandiis que son plain resterait normal k cette ligne ; ainsi, cette enveloppe presentera la forme d'un canal cmviligne qui aura pour axe la courbe directrice XOY, et dont teotes les sectiojis nonnales a cat axe seront des cercles d*un rayon constaat.
88 UVBE ni. — SURFACES Dl^VRLOPPABLBS BT EITVELOPPES.
203. Ces consequences continueront evidemment d'avoir lieu quelle que soitla nature de laligneXOY; c'est-a-dire que si Ton adopte successivement diverses courbes pour directrices du centre de la sphere mobile, on obtiendra des enveloppes de formes trfes-variees, mais dont chacune aura pour section normale un cercle du rayon OA. Ainsi, ce cercle devient une gendratrice de forme irwariable^ commune a toutes les surfaces qui enveloppent V espace parcouru par une sphere (Tun rayon constant. etqui imprime k toute cette famille d'enveloppes, un caractere distinctif et indepen dant dela nature de la directrice XOY; c'est pourquoi Monge a donn6 le nom de caraclenstique k ce grand cercle normal, et generalement il appelle ainsi I'intersection de deux enveloppees consecutives, dans chaque famille d'enveloppes engendrees par une meme surface mobile, quelle que soit la loi du mouvement de cette dernifere surface.
204. Nous avons dit (n° 190) que I'enveloppe toucherait chacune des enveloppees particulieres precisement le long de la caracteristique, qui est ici le grand cercle vertical et mobile AOB. En effet, trois positions infmiment voisines S, S% S" de la sphere mobile, se couperont suivant deux cercles situes Tun et Tautre sur la sphere S', et ils y comprendront une zone infiniment etroite, de largeur in6gale, mais qui sera commune i S' et k Tenveloppe; de sorte que ces deux dernieres surfaces ayant les memes elements superficiels, ou les memes plans tangents tout le long de cette zone, se trouveront bien tangentes Tune k Tautre dans cette region commune, qui d'ailleurs comprendra, vers son milieu, la veritable caracteristique ou le grand cercle normal a la courbe XOY. Ainsi, il est vrai de dire que le contact a lieu le long de cette caracteristique.
205. Maintenant, comparons eritre elles les diverses caracteristiques projetees ici sur AOB, A'O'B',... [Jig. 54), -et pour faire mieux ressortir les circonstances assez delicates de leurs intersections, imitons le precede indique vers la fin du n^ 201 pour d^crire la developpante : c'est-a-dire, imaginons que leplan vertical AOBF de la caracteristique soit inflexible et indefiniment prolonge; puis, feisons-le rouler, sans gUsser, sur le cylindre vertical FDYE auquel il demeurera tangent. Alors le cercle AOB, entraine avec le plan mobile, parcourra necessairement Tenveloppe qui nousoccupe, puisque les conditions precedentes reviennent evidemment a dire que le centre de ce cercle se mouvra sur la developpante XOY, tandis que son plan restera normal k cette courbe. D'ailleurs, tons les points de cette circonference mobile, projetes en B, R,..., A, decriront d'autres spirales BD, RL,..., AA'E, qui seront autant de developpantfes du cercle FDY, et dont la premiere et la dernifere formeront le contour apparent de I'enveloppe.
206. Cela pose, tant que, par la rotation du plan vertical AF sur le cylindre FDY, Textremite B du diametre du cercle mobile n'aura pas atteint la d6velopp6e, deux caractMstiques consecutives ne se couperont pas; car on sait(n*^ 197) qu'une normale quelconque A'F' k la courbe XOY, ne serait rencontree par la normale infiniment voisine qu'au point F' situe sur la developpee, et ce point se trouve en dehors du diametre A'B' qui limite la projection de la caracterxistique. Mais, des que le point
