chapItre I. — PRiNciPES Q^NiiiAUX

de ces Ughes par (G; G'), (Gj, G'g), (G,, G3),.-; puis, observons que le plan secant P qui est perpendiciilaire au plan vertical, coupe la ligne (G, G') en iin poirit qui doit etre projete verticalement k lia reticontre de G' avec la trace du plan P; par consequent, si I'on ramehe ce point sur la ligne G aii moyen d'line perpendiculaire ^ la ligne de terre, on obtiendra la projection horizdiitale hi d'lih point de I'intersectioti de S avec P. Eii r6petant la riieme operation poiir cliaqiie generatrice, on se ^irocurfera tine serie de poihis/Ti, m^, /Wj, m*,...; ets'ils soritassez irapproches les tins des autres, ils poiirront fitre aisenient reuhis par un trait continu (*) qui ferai coniiiaiitre, siir Ife plan tiorizoniat, la cdutbe suivaht laquelle la stiirface S est coupee par le plan P. Ouatit Ji Isi projection verticale dfe cette meme cburbe, il est evident qu'elle sfe rediiit, dins le cas iictuel, Ji la trace iheme du plan secant P.

210. Consideirohs ihainteiiant deux surfaces quelconques S et S' ; el pour trouver Ifeur intersection, coujidiis-les par uiie serie de plans hdrizoritaiix P, P^, P3 ,.... Chacuri de ces plans atixillaires, P par exemple, coupera la surface S siiivant une ligne mmairij..., et la surface S^ suivaiit iine autre ligne m'/n^z/Zj...; ce^ deux Hgnes se condtruiroiit comtiie iibus Tavons dit aii hiimero precedent, et si felles se coupent felle^memes sur le plan horizontal en un oii plusieiiirs points M, N, • . . , ce serontl^ les projections hbrizontales de divers jpoihts, qiii sont evidemment commans COAX deux surfaces S et S', et qui d^s lors appartiennent a leur intersection. Quabt aux projections vertifcales, on les deduira des premieres, eii ramenant sur la trace du plaii auxiliaire P les points M, N.,..., par des jperpendiculaires ^ la lignfe de terrfe. Maititenant, si Ton r6pfete des operations semblables poilr les autres plans Pa, P3,..., on obtiendra sur chaque plan de projection une suite de points M, M2 * M3 , . . . , N, Na , N3 , . . . , qii'il faudra reiinir par un trait continu, en distinguant toutefois ceiix de ces points qui appartieiiiiehi k line meme branche de

(*) II faut de rhabitude, sans doute, pour r^unir ainsi des points situ^s a c^r^aines distances ]^ar une ligne qui n'olfre ni /arrets, ni changements brusques de courbure; mais on he doit rien ^pargner pour se fonner roBil et la main par de nbmbreux exercices, et poor acqa^rir )e sehtiment '6e M cohtihuif^ dans tes courbes, attendu que la construction (Jes intersections de surfaces est un des probl^mes les plus utiles, soit comme moyen de recherche, soit dans les applications pratiques de la g6om6trie descriptive k la perspective, k la coupe des pierres, a la charpente, etc. Toutefois, nous ferons observer ici qu'il n'est pas toujours avantageux de multiplier extr^mement les constructions auxiliaires t[m ddterfninent les divers points HI, m,, At|, . . . , parce que les petites erreurs inseparables de toute operation manuelle, portaut alors sur des points trte-voisins, produisent des sinuosity ou d*autres d^fauts choquants qui n'eussent pas ^t^ sei|sibles sur de plus grandes distances. H faut done r^partir ces constructions avec mesure, en consultant de bons modules, et les multiplier davantage daiis ies parties oCi la courbe sembie oftfir quelque forme singuli^re qui a besoin d'etre vdrifi^. thi dolt iiussi profiter des notions que Yon peUf ^(voir d'avance sur la nature de rintersection cherch^; si, par exemple, on pr^voit que la projection doit ^tre une courbe da deuxi6meoudu quatri6m6 degre, il ne devra y exister aucun arc qui puisse ^trecoup^ par une droitequelconque, en plus de deux ou d6 quatre points; et si le cohtraire airfivait, il faudrait refaire les constructions relatives k ces parties poor les rectifier. La determination des tangentes, que nous apprendf'ons k effectuer, est encore un moyen de oorriger la fojrme d*une courbe ; parce que la connaissance d'une pareille droite fera ais^ment sentir si I'arc qui precede ou qui suit le point de taiigence a besoin d'etre eievj§ ou abaiss^ pour que le contact soit complet. Au surplus, les pf^ptes g^h^raux sur cette mati^re ne sulEsent pas, et il laut reclamer encore, sur un certain nombre d'exemplesbien choisis, les coo^ifs d'Uii praticieh habile.

9^ UVRB IT. — IirrKBSECTlOirS DB SCBFACES.

courbe d'avec ceux qui fontpartie d'une autre branche. Gett^ distinction est quelquefois assez delicate; mais on y parviendra en suivant avec attention, et de proche en proche» les resultats fournis par les plans auxiliaires successifs. D'ailleurs^ si Tune des surfaces S et S' avait deux nappes distinctes, comme il arrive dans un cdne^ il ne faudrait pas reunir des points qui seraient sur des nappes oppos^es. 21 i • La methode que nous venons d'exposer est generate, et suffisante dans tons les cas pour obtenir Tintersection de deux surfaces quelconques S et S' ; mais au surplus, on pent donner aux plans secants P^ Pa » Ps » . • • » telle direction que Ton voudra, pourvu que Ton sache construire commodement les courbes auxiliaires mm^... et m'ni^.... Ainsi, dans chaque probleme, . il sera avantageux de choisir les plans secants de maniere que les sections auxiliaires soient, s'il est possible, des droites ou des cercles, parce quede pareilles lignes se tracent facilement au moyen dedeux donnees. Par exemple, s'il s'agit de cylindres, on prendrales plans P, Pa,..«, paranoics aux generatrices des deux surfaces k la fois ; s*il est question de deux cdnes, on fera passer tons les plans secants par la droite qui reunit les deux sommets. Quelquefois meme on emploie, pour couper les surfaces S et S\ non plus des plans, mais des surfaces courbes, telles que des spheres concentriques, qui peuvent foumir alors des cercles pour sections auxiliaires dans les deux surfaces proposees. ( Vqyez n^ 333.)

212. Quand on a construit les deux projections de Tintersection cherchee, cette courbe est certainement determinee; mais si elle est plane^ il faut en outre, pour manifester plus clairement sa forme, en executor le rabattement sur un des plans de projection. Lorsqu'une des deux surfaces proposees est dS^eloppcible, on doit aussi efTectuer le developpement de cette surface, et y construire la transformie (n^ 175) de Tintersection ; car cette nouvelle courbe est n^cessaire a connaitre dans les applications k la st^reotomie. Enfin, comme la determination des tangentes k une courbe est un moyen de dessiner avec plus de precision le cours de cette ligne, et que cette connaissance est d*ailleurs necessaire dans divers cas, il faudra s'exercer a cette recherche, tant pour Tintersection primitive que pour son rabattement etpoursa transformee; mais les tangentes a ces deux dernieres courbes se deduisant toujours facilement de la tangente k la premiere, nous nous bornerons a donner pour celle-ci une methode generale.

213. D^signons les surfaces proposees par S et S', et soit AMB leur intersection dont il faut trouper la tangente {fig. 67 .)

Puisque cette courbe est situeeen meme temps sur Jes deux surfaces, sa tangente IMT pour le point quelconque M, doit se trouver k la fois (n^ 95) dans le plan qui touche la surface S en M, etdans celui qui touche S' au meme point; done la tan-gente^ sera r intersection des plans tangents aux deux surfaces. Par consequent, il suffira de construire ces deux plans par les m^thodes exposees pr^cedemment, et de cbercher la droite suivant laquelle ils se couperont : on pourra meme se bomer k trouver un seul point de cette intersection, puisque le point de contact M est dejk assigne par la question.

GHAPITBB I. — PEINGIPBS G&fl^RAUX. 93

Lorsqu'une des surfaces proposees, par exemple S% sera un plan, ou bien quand on saura que la courbe AMB est plane, quoique les deux surfaces dont elle est I'intersection soient courbes, la rbgle precedente se reduira evidemment k chercher rjntersection du seul plan tangent de S avec le plan S^ ou avec le plan de AMB.

214. Autre methode. Si Ton construit la normale MN de la surface S pourle point M, et la normale MN' de la surface S' pour le meme point, il est evident que la plan NMN' conduit par ces deux droites, se trouvera perpendiculaire a chacun des plans tangents, et par suite a leur intersection qui est MT. Ainsi, la tangente a rintersection de deux surfaces est une droite perpendiculaire auplan des deux normales k ces surfaces ; ce plan coincide d'ailleurs avec le plan normal [n^ 168) de la courbe AMB. II suffira done de construire ces deux normales et le plan qu'elles determinent; et puis, de lui mener une perpendiculaire par le point donne M. Cette metbode [*) est fort precieuse, i^ parce qu'il y a des surfaces oil la normale se determine d*une manifere beaucoup plus simple que le plan tangent, et independamment decelui-ci (n^ 136) ; 2® parce qu'il se rencontre quelquefois des points singuliers, pour iesquels les deux plans tangents se trouvent perpendiculaires a un meme plan de projection; alors le precede du n^ 213 ne donne plus de r^sultat determine pour la tangente de la courbe projetee sur ce plan, tandis que la methode des deux normales pent encore s'appliquer par suite de certaines relations qui, alalimite, ne deviennent pas indeterminees. Nous en verrons des exemples dans plusieurs epures de Geometric (n^ 340 et 488) et dans la Coupe des pierres.

215. Lorsque les surfaces en question sont placees de telle sorte qu'elles^e towchent le long de la ligne qui leur est commune, cette intersection particuliere prend le nom de Ugne de contact ^ et Tune des surfaces est dite circonscrite k 1' autre. On pourra toujours construire cette courbe par le precede general du n^ 210, mais on ne saura plus lui mener de tangente; car, d'apres Tbypotbbse actuelle, les deux plans tangents dont cette droite serait Tintersection se trouveront confondus Tun avec Fautre. La meme indetermination resulterait de la metbode des deux normales; car ces droites coincideront entre elles en m6me temps que les plans tangents, et le plan normal qu'elles devaient servir k fixer restera encore indetermin^. Ainsi, pour les lignes de contact de deux surfaces, la geometric ne fournit point de methode graphique propre a trouver leurs tangentes {**)f^ moins toutefois que la ligne de contact ne soit plane; car, dans ce cas, la combinaison de son plan avec le plan tangent commun aux deux surfaces, donnerait encore la tangente cherchee.

216. Apres avoir expose ces notions generales sur les intersections de surfaces, nous aliens les eclaircir en resolvant divers problemes de ce genre, dans Iesquels

(*) Elle est due k M. /. JBinet, qui en a fait lui-m^me des applications int^ressantes k diverses dpures de G6om^trie 6t de Coupe des pierres.

(**) Cependant nou^ indiquerons, aa n^ 584, une methode propre a atteindrece but, mais trop compliqu6e pour ^tre vraiment utile dans la pratique, et remarquable seulement sous le point de vue de ia theorio qu'elle servira a completer.

94 uvife IV. — nttftiisMrhoirs Bi Surfaces.

iioiis trdtivfef6ns d*alillfeUi^ roccasitfh d'expliquer encore quelqiies psitticiilarites remarquable^, tilled q\ih la recherche des branches infinies et celle des asytnptotes, iott tt6txs n6 pOUt'Hohd parler ttidntenant que d'une mani^r^ vague el oycUre.

CHAI^iTftE II.