DES SECTIONS PLANES

PROBL^SME L Trower i^ t intersection d'un cylihdrig droit el d'un plan donnis; •1^ fe rabdUement de cette intersection et sa tangente ; 3^ fe de^etoppement du cyUndre^ ettd transformie de V intersection, avec sd tangente.

217. [Fig. 58.) Nous avons d6jk dit (n*> 160) que par cylindre droit nous entendions un cylindre qui avait pour ba§e oii pour dlrectrice utie courbe plahe et perpendiculaire aux generatrices rectilignes de cettfe surface, ^aiis e^tiger que cette base fftt Un cercle; ainsi, tout eti adoptant ici cette dernifere forme pour eieifaple, nous raisonnerons d*une ihanifere ^6tierale et applicable \ toutfe autre c6tirbe. D'sillleurs, comme dans chiaque problfeme il convient de choisir les plans de projection dans des directions propres k slmpllfler les operations graphiques, rious adopterbn^ le plan de la base ABDC pour plan horizontal et nous choisirons Ife plan Vertical perpendiculaire aii plan s^eant, lequel aura ainsi pour traces PQ et QR'. Quatlt au cylindre, il sera represents par la courbe ABDC qui en est le contour apparent sol^ leplan horizontal; et sur le plan vertical, le contour apparent sera forme par les deux droites GG' et YV qui sont evidemment les traces de deux plans tatigents perpendiculaires k ce plan de projection ( n^ 106). Nous supposerons de plus que le cylindre est termine aux deux plans horizontaux 6V et 6' V'.

218. Cela pose, le plan PQR' coupera le cylindre vertical suivant une courbe qui, d'apr^s la situation actuelle des plans de projection, se trouvera evidemmetit projetee suivant ABDC sur le plan horizontal, et sur le plan vertical suivant la portion A'D' de la trace du plan secant. Ainsi, dans ce cas trfes-simple, les projections de rintersection sont connues immediatement, et il n'y a p^s lieil d'employfcr la mSthode generale exposee au n^ 210.

219. Rabattement. Pour connaitre la veritable forme de rintersection, rabatlons leplan qui la contient autour de PQ, sur le plan horizontal; ou plutot, afin d'obtcnir un resultat dispos6 symetriquement, faisons tourner le plan PQR' autour de la droite (BC,B'), jusqu'k ce qu'il devienne parallele au plan horizontal. Par cette revolution, la trace verticale Q'R' deviendra Thorizontale jf'B', et un point quelconque de la courbe, par exemple (M,M'), decrira un arc de cercle />e/pc/idiculairea Taxe de rotation; done cet arc sera projete verticalement sur un arc egal M'm' decrit du centre B', et horizontalement sur la droite indefinie MF parallele a la ligne de terre. Alors, puisque le point M' s'est transporte en m\ si I'on projette ce dernier en m sur MF, on aura la position {m^m!) que prend, aprfes le rabattement, le point (M,M') de la courbe proposee. En operant de meme pour

GHAPITBB n. — DBS SECTIONS PLANES. qS

d'autres points, tels que A, D, E, F,... (*), on verra qu'ils se rabattent en a, d, e, /,...; et en reunissant ces derniers par un trait coutinu, la ligne omBdCna repre- 8entera Tintersection eherchee dans ses v^ritables dimensions.

2S0. Cette intersection est ici une ellipse, puisqu'en la comparant avec le cerde ABDG, on voit que pour les memes abscisses comptees sur la droite BC, les ordonnees perpendiculaires a cette ligne ont au^mente toutes dans le rapport constant de OA k B' A' ; or on sait qu'une pareille modification change un cercle en une pllipse. Q's^illeurj^, coinR)!^ il existait (]eu:( points M et N dff la courbe primitive, qui avaient Tun et {'autre J^' po)ir projection verticale, et que ces deux points se soxtt tra|[)spprte$ s)i]r fine cpr^e jr^r} pyidpiQip^ift perpendicujaire a Off, e| doQt le miljeu ^st sur pette drqite, il s'en§uit que la ligne aO d diyise p^ deux parties egale^ et k jungles droits ^nt $^rie dia corde$ paralleles dapa Is^ cpifrbp rstbatti^g; 4onc qOd e^t un ^xe 4^ Tellip^p, et pstr coi^sequent BOlG ^s|; le $ecQpd ax^.

221. Gherchons maintenant la tangente de Tintersection ppqf Ufi point quelconque (M, M'). D'apres la regie generale (n** 213) , cette droite devant etre situee a la fois dans le plan PQR' et dans le plan tangent du cylindre qui est le plan vertical MX, il en resulte immediatement qu'elle a ppur projectipn ^^ et lif'Q- ]5nsuite, si Ton yeut retrouver pette tangente sur le rabattepent de rintersecfipp, pp Q))9er- . vera que Ip pied (T, Q) de ce|te droite decpit, ponifup 4ious I'^vqus expliqm6 pour (M, M')^ un arc de cercle perppndipulaire a {a charpierp (^C, B'); de sorte que le pie4 4*^ ja tangente se transpqrte eq / , et p^isqifp le point 4^ coptacf e%\ yenu ei) 772, la tangente rabattue est done tm. Cette droite dpvrs^ ^ucAer exaptement la courbe ai?zB^.

On pent encore observer que la tangente T]\fS 4^ Tiatersection pppii^jye glls^it rpncpntr^r \^ cbar^j^re en un point (S, P'), qui 4oit^ demeurer immobile peodant le mpuyement de fptation; ainsi, il fai:|4?? qu? h 4i*oitp tm, 4^ja detefjuifte^, i^illp passer par le point S.

222. Developpement. Nous avonsvu (n® 161) que, quandon developpe un cylindre, la section droite qui est ici la base ABDC {Jig. 58), devient rectijigne sans changer de longueiir absolue , et que les aretes lui demeurent perpen4ici|l^ires. Si done, en supposant qu'on ouvre le cylindre le long de Tarete (D, W), on porte sur une droite indefinie, des longueurs (**)

D^E^^DE, E^r = EF, F<r = FB, B?M'^ = BM,...,

et que par les points D'', E'^F'",... on eleve des perpendiculaires egalesk la hauteur W du cylindre, on obtiendra, pour le 4^vp{qppeipent d^ cette surface, le rec-

(*) Quoiqu'on puisse prendre ici ces points d'une mani^re arbiiraire sur la bas^ ABDC, il est bon, pour I'op^ration ult^rieure du devehppement , de les choisir tous de mani^re qu'ils divisent la circonf6rence en parties ^les.

(**) ObservoDS ici que, quand la courbe ABDC est quelconque, il faut, pour rectifier les arcsDE^EF,..., les mesurer en employant une ouverture de compas qui repr^nteune trte-petite corde sensiblement confondue avec Tarcpartiel qu'eile sous-tend; puis, reporter sur la droite indefinie D^D* le mdme nombre de

96 LIVBE IV. — mTRBSBGTIOlfS DB SUBFACES.

tangle D'^VV^D*. Maintenant, rapportons-y les points de rintersection; et k cet effet, rappelons-nous (n° 162) que les portions de generatrices du cylindre, comprises depuis la base jusqu'a cette courbe, doivent conserver aprfes le developpement leurs longueurs primitives. Par consequent, si nous portons sur les verticales du deyeloppement» des distances

D'c?=VD', E''6 = KE', r(p=IF',...,

et que nous reunissions par un trait continu les extremit^s de ces hauteurs, nous obtiendrons, pour la transformde de Tintersection, la courbe c^eyS/xac^^

223. DansTexemple actuel, oii la base du cylindre droit est un cercle, la transformeesera composee d'abord de deux parties 6videmment symetriques ad et ac?'; car les deux arcs ^gaux AM et AN, qui repondent k deux points de la section prolet^s en M', foumiront sur le developpement, des abscisses et des ordonnees respectivement ^gales; savoir :

A'^M'' = A"N^ et M> = N''v.

En outre, chacune de ces parties, par exemple ac^, se trouvera aussi composee de deux portions Sa et 6^ egales, mais inversement placees par rapport k Thorizontale w6 : cela resulte de ce qu'a partir de S, les points (p et fx, e et X, proviennent des points du cylindre F et M', E' et L', qui se trouvent k des hauteurs respectivement egales au-dessus et au-dessous du point B\ D'ailleurs, la transformee totale n*est qu*une portion d'une courbe indefinie (*) qui, d*apres la relation existante entre ses coordonn^es, admetune infinite de branches successives identiques avec d'a&. On pent memo, par la geometric, faire naitre ces diverses branches, en imaginant que le plan sur lequel on effectue le developpement du cylindre, avait 6te roule sur ce corps un nombre de fois indefini, et en r^petant les constructions ant^rieures sur le prolongement de la droite D^'D".

fois cette ouverture de compas. Mais, quand il s'agit d'un cercle, comme dans Texemple actuel, il est beaucoup plus commode et surtout plus exact de prendre imm6dialement la droite D'D* 6gale aux ^ du diam^tre AD, puis de diviser cette droite en autant de parties ^ales qu*en contient la circonf^rence. Gela suppose d'ailleurs que les points de division de la base du cylindre ont ^t^ choisis eux-m6mes k des distances Egales, comme nous Pavons recommand^ dans la note du n^ 219.

(*) Cette courbe est nnesinusoi'de; car, si Ton appelle x rabscissehorizontale et/Tordonn^ verticale du point y, compt^ k partir du point 6 comme origine, puis que Ton dteigne par x' = B'U', y = F'U', les coordonn^es du point analogue F' par rapport k Torigine B', il est Evident que Ton aura les relations

y=/, ar' = 8inBF = 8inB''F* = sinar, y = ax',

en d^ignant par a la tangente trigonom^trique de Tangle R'B'<f . Done, en ^liminant les variables auxiliaires ^, y, il viendra pour Tdquation de la transformde rapport^e k Torigine 6,

jr = aBmx; ou bien / = flRsingi

en comptant, suivant I'usage analytique, les sinus dans le cercle dont le rayon est I'unit^, et d^signant par R le rayon du cylindre actuel.

CHAPITSB II. — DBS SECTIOHS PLANES. 97

224. Construisons maintenant la tangente de la transformee ^ ai pour un point quelconque /x. Nous savoos (n® 162» 3^) que cette droite est la position que pread» apres le deyeloppement du cylindre, la tangente (MT, M'Q) de la courbe priinitive, et que d'ailleurs Tangle de cette tangente avec I'arete du cylindre demeure invariable. II s'ensuit que le triangle rectangle forme par cette tangente, la verticale (M, M'H) et la sous^tangente MT, reste aussi invariable de forme, et ne fait que tourner autour de cette verticale pour s'appliquer sur le plan du developpement; 11 suffitdonc de reproduire ici ce triangle dans ses v^ritables dimensions. Or, comme on a dejk la hauteur /jlM'' = M'H, si Ton prend WV egale ^ la sous-tangente MT, Tbypotenuse T^^/x sera la direction de la tangente cherchde.

On pourrait aussi employer un triangle rectangle, oppose par le sommet au precedent, et quia pour cdtes la verticale (M, M'A') et I'horizontale (MS> A'B'). Ce triangle demeurant encore invariable de forme, il suffira de prendre /xu = M'A' et de tirer Thorizontale uSS" = MS; alors, en joignant les points S" et /x, on obtiendra une droite qui devra se trouver le prolongement de T''/x.

225. II est important de remarquer qu'aux deux points (A, A')«et (D, D') de Tintersection du cylindre avec le plan PQR', la tangente a cette courbe se trouvait paral- \h\e k la trace PQ, puisque le plan tangent du cylindre en A ou en D est lui-meme parallMe k cette trace. II en resulte qu'en chacun de ces points, la tangente de la section fonnait un angle droit avec TarSte du cylindre; et comme cet angle doit demeurer invariable (n^ 162, 3^) dans le developpement de la surface, il faudra qu'aux points a, ^, ^ la transform^e coupe encore a angles droits les verticales A"a, D' *, D*<^.

226. Observons enfin qu'au pointS de la tansformee il y aura une inflexion; c'est* a-dire que si Ton construisait, comme ci-dessus, la tangente en ce point, cette ligne traverserait la courbe, en laissant Tare 6a au-dessus d'elle, et Tare S& au-dessous. Neanmoins,ilnefaut pas la regarder comme unesecante; car, bien au contraire, elle a dans ce point singuUer un contact plus intime avec la courbe que celui d'une tangente ordinaire. En effet, d'apr^s la symetrie que nous avons prouv^ exister (n^ 223) entre les deux parties 6a et 6^, si nous menions par le point § une droite quelconque qui rencontrat Tare inferieur en /jl, cette meme ligne couperait necessairement Tare superieur dans un autre point f qui serait k la meme distance que /x par rapport a 6; done en faisant tourner cette sicante autour du point 6, les deux points /x et 9 se rapprocheront simultanement de celui-ci» et lorsque fx viendra se confondre avec §, au meme instant 9 colncidera pareillement avec 6. D'ou Ton voit que la position limite de cette s^cante sera ddtermin^Cy non par la reunion de deux points de section, mais par celle de trois points de ce genre; et qu'ainsi cette tangente particu- Here ofTrira un contact du second ordre, d'aprfes lequel elle aura un Element commun avec Tare 6a, et aussi un dldment commun avec Tare 6^. D'ailleurs, ces deux arcs se trouveront ^videmment de cdt^s opposes par rapport a la tangente, k cause des mouvements contraires que prennent simultanement les deux portions de la s^cante,

Geometrie Lerojr* 1 3

g8 LIVllK IV. — iBfTfiBSECilONS Dfc SORPACfiS.

lorsqu'elle tourne autour du point €; done il y aura 1& line veritable inflexion (*).

Pour 6viter la confusion des lignes, nous avons construit cette tangente singuliSre

pour le point analogue 7, en prenant la sous-tangente Cfl'^egale a C9, et en joi-

gnant les points 7 et 6".

227. Le dds^eloppement d'un cylindre est unfe op6ratioii necefealre k employer dans certains arts. Si, par exemple, on voulait former en tolc oii en fer-blanc un tuyau cylindrique qui dAt se terminer k deiii plans, Tun perpendldilsiire, Tautre inclin6 sur sa longueur, il ftiudrait tracer, silr Une feiiille de riietdl ehcdh plane, la courbe e^ac^, puis dicouper cette feuille le long de cette fcoutbci eh feiileValht IS partie superieure; alors on serait certain qu'fen cburbant le restb de la feiiille de t61^ au moyen d'une enclume cylindrique, le bord sup^rieur presenterait lafortii^ d'uiie courbe ptane^ ayant rinclinaison voulue par la question.

De meme si, apres avoir execute en bois ou en pierre un cylindre droit, oil voulait le terminer par un plan incline, 11 faudrait construire, siir un cdrtoti flexible, le developpement de ce cylindre avec la transform^e &a9 de la section dorit il s'agit, puis decouper ce carton le long de cette courbe, et le rouler ensuite sur le cylindre. Dans cet etat, le bord du carton aurait repris la forme qui convient k la section plane demandee, et Ton pourrait tracer celle-ci sur le solide, en suivant avec un crayon le bord de ce carton enroule; de sorte que Touvrier, connaissant ainsi leebiitour de U partie du solide qu'il doit enlever, pourrait achever Touvrage avec toute la precision desirable. Nous rencontrerons des applications frequented de ce procede dans la Coupe des pierres et dans la Cbarpente.

228. AuTkE SOLUTION delUntersectiond'un cylindre droit pctrunptM {fig. 69} .

II pent arriver que quelque circonstance de la question empeche de choisir le plan vertical de projection perpendiculaire au plah sj§cant; alors ce dernier aurait pour traces des droites quelconques PQ et QR', et le cylindre serait toujoursrepresente par sa base ABDC, et par les deux verticales tJU^ YV, qui form^nt soil con-

{* ) Au lieu de ces considerations qui sont particull^res au cercle, mais qui nous ont paru trte-propres a faire sentir aux dl^ves le caract^re distinctif de rinllexioti, on peut demdntrer g^n^ralement que, dans tout cylindre coup^ par un plan oblique, ia transform^ de la section oEfHra u/ie injlexion au pbiiit situ^ sur la ^enirairice pour laquelle le plan tangent du cylindre ae trouvera perpendicuuttre au plan s&cant. En effet (fig. 59 his)^ soit ir le plan qui coupe le cylindre suivant la courbe KLMNPQ; soit YMT un plan tMigent perpendiculaire A ft : il coupera ce dernier suivant une tangente YMNT qui sera ^vidomment la projection orthogonale, sur le plan ir, dee deux ^^mtrioes infinimeht voiMnei TM ei ZN. Or on salt (n"" 42) que Tangle aigu ZNT est le minimum, et Tan^ obtus ZNV Is, maximum de teik^ lee angles ({ue Toblique ZN forme avec les diverses droites trac^ par son pied sur le plan n ; dopc^ on aura to^jo^l:8

angle ZNT <ZNP et angle YMV>YML.

Par cons^uent^ lorsqu'on ddveloppera le cylindre sur le ()lan tangent YMT suppose immobile, T^l^mentNP de la courbe ira prendre une position NP' 6i(U6e au-destous de la VSngehte MT, tandis que r^l^ment ML se transportera au-dessus, comme fitL'. Ainsi la t^urbe tcandfbrmte K't'MNP'Q' prddentera bien une inflexion au point M, ou suivant r^l^ment MN.

Gettie remarque interessante a et^ faite d'a{)ord par M. Th. Olivier; mais nous Tavons pr^nt^ ici sous une forme telle, que r^nonc^s'appliquera identiquement aux surfaces cbniques et k toutas lee surfaces d6veloppables, comme nous le verrons au n"" 255.

CBAMTM U. — Bn MECnOHS PLAHES. 99

tour apparent sur les pl^ns fixes. Dans ce cas, suivons la methode gin^rale du n"" 210, et coupons le cyliodre et le plan donne PQR' par divers plans horizontaux, tels que K'N'M'; oe deniier aura pour section dans le plan donne une horizontale (K'M', KM), et pour section dans le cylindre, une courbe projetee sur la base ABDC; par consAquent, les points M et N qui sont cotnmuns i ces deux sections auxiliaires sur le plan horizontal, 6tant projetes sur K'M', foumiront deux points , (M, M') et (N, N') de T intersection demandee. Les autres s'obtiendront d'une mani^e toute acmWable, ^n meMnt k volenti des parallMes k la ligne de t^^^^^^

commeA'L', E'F,....

229. Mais il vaut insfux nterprdter autrement ces constructions, ^^.^ disant que I'on mfene k volonte des plans auxiUaires qui soient verticaux et PTiralleles a la trace PQ, comme MNK. Aiors ce plan vertical coupera le plan PQR' suivant Thorizontale (KM, K'M'), et le cylindre suivant deux generatrices projet^es sur XN' et YM^; done la rencontre de ces demiferes avec la ligne K'M' fournlra dei\x points (M, M') et (N, N') de rintersection demandee. Cette marche ofTrira Vavantage de pouvoir trouver directement certains points remarquables quMl iro.porte de construire, pref6rablemeat a d'autres qui en seraient meme tr^s-voisip^^.

I** Si Top applique cette methode Ji la recherciie des points situes sur les aretes (A. UU'), (D, W')^ qui forment le contour apparent du cylindre gur le plan vertical, on obtiendra 10S points A' et D'^ui s^parent lapariie visible de Tintersection cherchee, d'avec la partie invisible; et, dans ces points-Ik, la projection verticale A'B'D'C devra toucher \t^ deux droites UU' et W. En effet, la tangente de la courbe dans Tespacepour le p^oint (A, A') est necessairement situ^e dans le plan tangent du cylindre le long de Tarete (A, UU'); mais ce plan est ici perpendiculaire au plan vertical, et par consequent la tangente en question se trouve projetee sur sa trace UU', laquelle doit ainsi toucher la courbe A'B'D'C; car d'ailleurs nous avons demontre (n** 102) qu'une courbe et sa tangente devaient se retrouver tangentes Tune k Tautre, quand on les projetait sur up m^me plan.

2** Le point leplus haut ot le point k plus bas de la courbe, c'est-Ji-dire ceux ow la tangente sera horizont€ile, s'obtiendront en cherchant les aretes B et C, pour le&quelles le plan tangent du cylindre se tronve parallele a la trace PQ. En effet, si, apr^s avoir conduit dans cette direction la tangente BI de la base ABDC, et avoir coi^truit GqiQme oi-^dessus le point (B* B') de la section, on veut trouver la tangente relative k ce point, il faudra (n^ 213) chercher Fintersection du plan PQR' avec le plan vertical BIT qui tauche le cylindre en (B, B'); or ces .deux plans ayant leurs traces paralleles, ils se couperont necesss^irement suivant une horizontale I'B' qui sera la tangente au point B'. Cette droite devient ainsi une limite de la courbe; et Fautre limite sera la tangente au point (G» C), qui se trouvera pareillement horizontale.

2S0. La tangente en un point quelconque (M, M') sera donnee par Tintersection du plan PQ91' avec le plan tangent du cylindre le long de Tarete verticale M; or ce demter a pour trace la droite MT qui rencontre PQ au point T; de sorte que, sans

'^^ LrVHE IV. — IJITBRSECnONS DE SURFACES.

chercher la seconde trace de ce plan tangent, on est certain que T est la trace horizontale de la tangente demandee. Des lors, en projetant ce point sur la ligne de terre, et le joignant avec le point de contact, on obtiendra TM et T'M' pour les pro- ^ jections de la tangente.

231 . Le rabattement de la courbe pourrait s'effectuer en faisant tourner le plan ; PQR' autour de sa trace PQ, pour Tabattre sur le plan horizontal; et comme, dans 'ce mouveraent de revolution, le point quelconque (M, M') ne sortirait pas du plan ve^-tical PM perpendiculaire a la charniere PQ, il suffirait de chercher (n° 17) la distance"" ^" poi^t P au point (M, M'), puis de porter cette distance sur PM prolongee, pon'obtenir la position du poinl (M, M') en rabattement. Les autres points se determineraifc^.^td'une maniere semblable.

Mais il vaut mieiix rabattre le plan PQR' sur le plan vertical, autour de sa trace QR', parce que chaque horizontale telle que {KM, K'M') conservera sa grandeur absolue qui est fi^iVI, et deviendra parallele a la position que prendra la trace PQ apres ce rabattement. Pour trouver cette position, j'imagine que la.droite (BC, B'C) soit prolongeejusqu'aux points S et R' oil elle rencontre les deux traces du plan PQR'; et j'observe que cette droite, dont la vraie grandeur est le rabattement R'S% fait partie d'un triangle rectangle .dont les deux autres cotes sont QS et QR^ Si done, avec ces trois cdtes^ on construit le triangle QR'5, la base (^$p sera le rabattement de la trace QSP : alors, en tirant des parall^les k cette ligne Q^ et en prenant les distances

rft = ID, Z'a = ZA, Z7=ZL, K'n = KN, K'm = KM....,

on obtiendra une s^rie de points qui, r^unis par un trait continu, fourniront la courbe hlmedcfab pour la vraie grandeur A^ Tintersection du cylindre par le plan PQR'.

Quant au rabattement de la tangente (MT, M'T'), il sufTira evidemment de prendre la distance Qr egale a QT, et dejoindre le point t avec m par la droite tm^ laquelle devra se trouver tangente a la courbe bmd.

232. Le d^ehppement Ae la surface s'effectuera, comme au n^222, en portant sur une droite indefinie des longueurs egales aux arcs de la base ABDC, rectifies au moyen de trfes-petites cordes, savoir {fig. Sg A) :