LITRE VII. — DES SURFACES GAUCHBS

572. Pour trouver le sommet et Vdxe du paraboloide hyperbolique^ il faut emprunter k I'analyse, ou bien admettre conime des definitions qu'il est loisible de poser, les relations suivantes : L' axe duparabohide est une droite parallele aux deux plans directeurs V et (^^ et telle, quelle coupe la surface en un point par lequel passent

deux generatrices quisont Vune et V autre perpendicukures a cet axe : ce point est d'ailleurs appele sommet (n** 91). D'apres cela, on voit que, pour des donnees quelconques, il faudra generalement mener un plan n perpendiculaire a P et Q, puis chercher, par le n® 565, les deux generatrices qui sont paralleles k n. Alors le point de rencontre de ces deux droites sera le sommet demande, et une perpendiculaire ^ TT menee par ce point, sera Taxe de la surface.

{Fig. 120.) Mais ici, nous avons adopte (n^ 566) les denudes les plus symetriques, il est clair que I'axe du paraboloide est vertical, et que par le point (0, 0') il passe deux generatrices horizontales (K'O'T, KOI) et (K'OT, kOi); done le point (0, 0') est le sommet demande, et, par suite, Taxe est la droite (0, C'O'X').

Parmi les conditions admises au n^ 566, il y en a une seule qu'on ne sera pas toujours maitre de remplir, c'est celle qui suppose que les deux directrices donnees sont dgalement inclindes sur le plan horizontal^ choisi comme nous Tavons fait. Lorsque cette relation ne sera pas verifiee, il en resultera seulement que les points D' et F ne se trouveront plus a la meme hauteur, et que le centre du losangeCDEF, forme comme il a ete dit (n^ 566), ne sera plus la projection du sommet de la surface; mais alors on obtiendra ce sommet par la methode generale, ou, plus simplement, en menant a la parabole D'OT' une tangente horizontale. D'ailleurs, on pourra aussi se procurer deux directrices telles que nous les avons admises, en conduisant a cette parabole deux tangentes egalement inclinees sur la verticale; et en regardant ces droites comme deux generatrices du paraboloide, on trouvera aisement leurs projections horizontales, qui serviront alors a former le losange dont le centre repondra exactement au sommet de la surface.

573. Pour manifesterclairement la forme inverse des deux nappes du paraboloide, qui sont Tune au-dessus, Tautre au-dessous du sommet unique (0, 0') ou elles se reunissent sans discontinuite, coupons cette surface par divers plans perpendiculaires a Taxe (0, C'O'X'). Soit L'R' un de ces plans; il rencontre les projections verticales des generatrices que nous avons construites, en des points que Ton projettera sur le plan horizontal, et qui formeront une courbe composee de deux branches indefinies, mais separees, LM/, RNr. Cette courbe est necessairement une hyperbole (n^562) dontTaxe reel est ici (MN, M'N) : mais si le plan'secant etait audessous du sommet, comme T'W, alors la section, qui serait encore (n® 562) une hyperbole TUW, /iw, aurait pour axe reel la droite (Um, U'); et si ce plan secant passait precisement par le sommet (0, 0'), la section se reduirait aux deux droites (KOI, K'T) et (*0j, KT) dont les projections horizontales sont les asymptotes communes aux deux sections precedentes.

574. Leplan tangent pour un point quelconque du paraboloide, donne par sa projection horizontale X, s' obtiendra en menant les generatrices Xa et Xg, respective-